V. — PARABOLE CONSIDÉRÉE COMME LIMITE DE L'ELLIPSE

THÉORÈME

1074. La limite d'une ellipse [OU d'une /lyperbole) dont un sommet et le foyer voisin restent fixes, tandis que l'autre foyer s'en éloigne indéjiniment dans la direction du ^rand

GÉOMÉTniK DANS l'eSPACE.

axe [ou de l'axe transverse), est une parabole qui a pour sommet et pour foyer le sommet et le foyer fixes [fig. ôSg).

En efiel, le cercle directeur relatif au foyer mobile F' coupe toujours le grand axe à droite du foyer fixe F, en un mêntie point L déterminé par la condition évidente AL= AF. A mesure que le centre F' de ce cercle s'éloigne dans la direction AÀ', son rayon croît indéfiniment, de sorte qu'il a pour limite In perpendiculaire DD' menée par le point L au grand axe AA'. D'ailleurs, tout point M de l'ellipse étant également distant du foyer F et du cercle directeur F' (987), on a conslammentMF = MG, c'esi-à-dire à la limite, quand l'ellipse se déformant le point M vient en j\îi, j\I,F=:M,lI, en désignant par M, H la perpendiculaire abaissée du point M, sur la droite DD', limite du cercle F'. Le lieu des positions limites des points de l'ellipse donnée est donc une parabole ayant pour foyer et pour sommet les points F et A et, par suite, la droite DD' pour directrice.

La même démonstration s'applique à l'hyperbole (1012). Dans ce cas, la parabole est la limite de la demi-hyperbole de droite à laquelle appartiennent le sommet A et le foyer F; l'autre demi-hyperbole de gauche disparaît à l'infini.

Corollaire.

1075. Le théorème précédent permet de prévoir et de démontrer les propriétés de la parabole, en les déduisant par