LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

voie de iransfoimation des piopriéiés corrcspondonies de l'ellipse.

Piir exemple, pour démonlrer que la tangente à la parabole fait extérieurement des anf^les égaux avec le rayon vecteur du point de contact et avec la parallèle menée à l'axe par le même point (1033 , il suffit de remarquer que, lorsque l'un des foyers de l'ellipse s'éloigne à l'infini, le rayon vecieur relatif à ce foyer tend à Jevenir parallèle au grand axe.

De même, pour établir que le lieu des projections du foyer de la parabole sur ses tangentes est la tangente au sommet (104-2, on n'a qu'à observer que le cercle principal de l'ellipse tend vers la tangente au sommet fixe du grand axe, lorsque l'autre sommet se transporte à l'infini.

Si les propriétés considérées dépendent explicitement des axes a et 6 de l'ellipse et de sa distance focale c, on subslilùeà a et à /> leurs valeurs en fonction de c et du paramètre p = i{a — c)de la parabole limite; puis, en supposant c infini dans les formules obtenues, on passe des propriétés de l'ellipse représentées par ces formules aux propriétés correspondantes de la parabole exprimées en fonction du paramètre p.

THÉORÈME

1076. 'l'uus tes dialiictres de la jjanibolc sont des droites parallèles à l'axe.

On démontre immédiatement cette proposition en regardante parabole comme la limite d'une ellipse (1074) dont l'un des foyers et le sommet voisin coïncident avec le foyer et le sonnnet de la parabole, mais dont l'autre foyer et, par suite, le centre se transportent à riiifini sur le grand axe de la courbe.

Les propriétés de l'ellipse démontrées aux n"' IOGj et 1066 appartiennent aussi à la parabole limite. Ces propriétés vont nous perniellre d'élablir la proposition suivante.

THÉORÈME

1077. La parabole étant rapportée au système d'axes ohlitpies jormé par un diaiiiè/re el la tangente à son extrémité, dans ee nouveau système d^ixes, la sous-tan^ente est eneore double de f'absrisse du point de eontact (104b).

En elTet, soient {fi^. 5Go) la tangente Aj et le diamètre \x pris pour

GÉOMÉTRIE DANS l'uSPACE.

axes coordonnés; menons la tangente MT en un point- quelconque M de la parabole. Si, par le point d'intersection G des tangentes A/ et MT, on

mène une parallèle à A.r, cette parallèle coupera la corde AM en son milieu (1066) : le point G est donc le milieu deTM. AGj étant parallèle à l'ordonnée MP, le point A est alors le milieu de la sous-tangente TP.

THÉORÈME

1078. L'aire d'un segment parabolique est les deux tiers du paraUclogramnie qui a pour côtés la cnrde et In flèche du segment, cette flèche étant mesurée sur le diamètre conjugué à la corde du segment.

Soit [flg. 5Gi) le segment parabolique MAM, déterminé par la corde