TT' = PP
Le triangle est donc la moitié du trapèze. Et, comme on peut répéter le même raisonnement pour chaque trapèze et pour le triangle correspondant, la somme des trapèzes reste toujours égale au double de la somme des triangles. La limite de la première somme étant l'aire MAP et la limite de la seconde l'aire MAT, l'aire MAP est les deux tiers du triangle total MTP ou du parallélogramme équivalent APMQ.
L'aire Mj AP étant de même les deux tiers du parallélogramme APMiQi, l'aire cherchéeMAMi est enfin lesdeux liersdu parallélogrammeMQQi Ml, qui a pour côtés la corde MMi du segment ou le double de l'ordonnée MP, et la flèche de ce segment ou l'abscisse AP.
§ VI. — ORIGINE COMMUNE DES TROIS COURBES. SECTIONS PLANES DU CONE DE RÉVOLUTION.
1079. Dans l'ellipse et dans l'hyperbole, à chaque foyer F correspond une droite D qu'on nomme directrice; c'est la perpendiculaire à l'axe focal élevée par le point E qu'on obtient en portant sur cet axe, h partir
du centre 0 et de 0 vers F, une longueur OE égale à — {^g. 562).
Dans l'ellipse, a étant plus grand que c, OE est plus grand que OF : ie point E tombe donc sur le prolongement de OF. en d'autres termes le foyer est entre la directrice correspondante et le centre. Dans l'hyperbole au contraire, a étant plus petit que c, OE est moindre que OF;
35o GÉOMÉTRIE DANS l'eSPVCE.
le point E tombe donc entre 0 et F, en d'autres tern:ie3 la directrice passe entre le centre et le foyer correspondant.
THÉORiME.
1080. La directrice D relcitive à un foyer F est : i" La polaire P de ce foyer par rapport au cercle principal; i" L'axe radical R de ce foyer et du cercle directeur relatif à l'autre foyer.
En eflet :
1° La polaire P est (341) perpendiculaire à OF et située par rap-
port au centre du même côté que le foyer F, à une distance égale à —
puisque le rayon a du cercle principal est moyen proportionnel entre les dislances du centre au pôle F et ^ la polaire P.
1° L'axe radical R (401, io°) est perpendiculaire à FF', du même côté que F par rapport au point 0 et à une dislance de ce centre égale à
— > puisque 2a est le rayon du cercle directeur (F'). THÉORÈME..
1081. Dans l'ellipse ou dans l'hyperbole, le rapport des distances d'un point quelconque II de la courbe à un foyer F et à la directrice corres'
pondante D est constant et égal à l'excentricité' - {fig. 56i). Eu effet, soient P la projection du point M sur la directrice D, N le point
Fig. 562.
où F' M prolongé rencontre le cercle directeur (F'), et I le point oi!i la tangente en N à ce cercle rencontre D. D'après le théorème précédent,
LIVnE VIII. — jEf; COURBES LSI rîJ.F.S. 35 1
on a IN = IF; d'ailleurs MN est égal à MF; les deux triangles MNI, MFI ont donc les trois côtés égaux; par suite, l'angle MFI est droit comme l'angle MNI et le cercle décrit sur MI comme diamètre passe par F, N, P. Il résulte de là que l'angle NPM est égal à NFM ou (puisque le triangle MNF est isocèle) à MNF.
D'ailleurs les angles NMP, NF'F sont égaux comme correspondants. Les triangles NMP, F'NF sont donc équiangles, et l'on a la proportion
MN
