FF

MF 2c c

ou

MP

NF'

MP la a

qui exprime le théorème énoncé.

Corollaire.

108:2. Le lieu des points dont les distances à un point fixe et à une droite fixe ont un rapport constant X est une ellipse, une hyperbole ou une parabole suivant que le rapport X est inférieur, supérieur ou éi^nl à l'unité {fig. 56'2).

Pour X = I, la proposition résulte de la définiiion même de la parabole.

Supposons X < I, et considérons l'ellipse qui a pour foyer le point fixe F, pour directrice correspondante la droite fixe D et pour excentricité le rapport X. Celte ellipse est bien déterminée, car les relations

- = X, c = FE,

dont les seconds membres sont connus, assignent des valeurs uniques cl finies aux éléments a et c. Or, d'après le théorème précédent, tout point de cette ellipse appartient au lieu, et il reste seulement à montrer que tout autre point M' du plan ne saurait faire partie du lieu. Or soient M le point où la demi-drqjte FM' rencontre l'ellipse, P et P' les projections do M et M' sur la directrice D, et Q et Q' les points où MP et Ml' coupent la parallèle à D menée par le foyer F. On aura