LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

foyer F correspondant et est perpendiculaire à la droite qui joint le point I au foyer.

Kn effet, supposons que dans le théorème précédent les points M et N viennent se confondre, auquel cas M et N appartiennent forcément à la môme branche, la ligne FI sera la bissectrice de la limite du supplément do l'angle MFN, c'est-à-dire la perpendiculaire à la droite FT qui représente les deux rayons vecteurs confondus. On verrait de même que FT' est perpendiculaire à FI. Donc les trois points T, F, T' sont sur une même perpendiculaire à FI.

4083. Le même théorème fournit une solution simple du problème qui consiste à construire une conique connaissant un foyer F et trois points A, B, C.

Tout revient à trouver la directrice D relative au foyer F. Or on obtient deux points de cette droite en appliquant suc'essivemcnt la proposition (1083) aux deux cordes AB et BC.

On verra aisément qu'il y a quatre solutions et que, des quatre coniques obtenues, trois sont certainement des hyperboles; la quatrième est une ellipse, une parabole ou une hyperbole suivant la disposition des données.

THÉORÈME

1086. La section d'un cône circulaire droit par un plan est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.

i' Supposons que le plan sécant rencontre toutes les génératrices du cône sur une même nappe {fîg. 564).

Menons le plan méridien (869, 3°) du cône qui est perpendiculaire au plan sécant AMA'; il coupera le cône suivant les deux génératrices SA et S-V qui font entre elles l'angle au sommet do la surface, et le plan sécant suivant la droite AA'. Dans le plan méridien considéré, construisons les circonférences 0 et 0' qui, situées de part et d'autre de AA', sojit à la fois tangentes aux génératrices SA et S.V et à la droite AA' qu'elles touchent aux points F et F'. Si l'on fait tourner le plan méridien autour de l'axe SO, ces deux circonférences engendreront deux splièrcs tangentes à la surface conique suivant les parallèles (869, 3°" BC et B'C, et tangentes au })lan sécant en F et en F'.

Cela posé, prenons un point M quelconque sur la courbe d'intersection ;

menons les droites MF, MF' et la génératrice SM qui coupera en G et en G '

les parallcl'' BC B'C. La droite MF étant tangente à la sphère 0 (787), on

a (788) MF = MJ. On a de même, par rapport à la sphère 0', MF' = MG'.

R. et DE C. — Tr. de Geo m. ( II* Partie). 23

Par suite,

MF + MF' = MG 4- MG' = GG' = BB' = const. D'ailleurs, en vertu des propriétés rappelées, on a

BB' = AB-4-AB' = AFh-AF' et BB' = CC = C A' -4- A' C = A' F -4- A' F'

« Il en résulte évidemment

AF-A'F' et BB' = AA'.

La courbe obtenue est donc une ellipse ayant AA' pour grand ajce et les points F ef F' pour foyers.

Fig. 564.

Si l'on trace A'H parallèle à BC, AH est la distance focale de celle ellipse. En effet,

AF' = AB' et HB' = A'C' = AF.

Les plans des parallèles BC, B'C, prolongés jusqu'à la rencontre du plan sécant, le coupent suivant deux droites DE, D'E', perpendiculaires au plan méridien considéré (561). Si l'on mène le parallèle LL' de la surface qui passe par le point M, son intersection avec le plan sécant