LIVRE V. — LE PLAN. Ï

plan P, sa projection sur ce plan se réduit évidemment à un point e.

5*29. Lorsque la droite est, comme CD, parallèle au plan P, elle est parallèle à sa projection cd sur ce plan (495).

Corollaires.

530. Les projections ah et cd de deux droites parallèles AB et CD, sur un même plan P, sont parallèles [Ji^: '^95;.

Fig. 2fj5.

Car la projetante \a d'un point quelconque de AB et la projetante Ce dun point quelconque de CD étant parallèles, les angles BAa, DCc ont leurs plans parallèles (306 ; et, par suite, les droites «/> et cd, suivant lesquelles le plan P cuupe ces deux plans, sont parallèles.

THÉORÈME

531. Lorsque deux droites AB et CD de l'espace sont perpendiculaires l une à l'autre, leurs projections ab et cd sur un plan P parallèle à l'une d'elles CD sont aussi perpendiculaires entre elles [Jig- 29'^>)-

Fig 297.

En effet, la droite cd est, comme sa parallèle CD, à anylc droit sur AB ; elle est d'ailleurs à angle droit sur la projetante A a, droite perpendiculaire au plan P qui tonlit'iil cd.

20 GÉOMÉTUIE DANS L ESPACE.

Donc, cd est perpendiculaire au plan ABrt6 et, par suite, à ab.

532. Réciproquement, deux droites de l'espace AB et CD soîit perpendiculaires l'une à l'antre, si leurs projections ah et cd sur un plan P parallèle à l'une d'elles CD sont perpendiculaires entre elles [fig. 296),

En ellet, la droite cd, étant à angle droit sur ab et sur A a, est perpendiculaire au plan AB6«. Il en est donc de même de sa parallèle CD, qui, par suite, est perpendiculaire à AB.

Dans le cas très-particulier où le plan P contient CD et où les droites AB et CD se coupent, cette réciproque revient au théorème connu sous le nom Aq théorème des trois perpendiculaires:

Si du pied a d'une perpendiculaire Ka à un plan P on mène la perpendiculaire oB sur une droite quelconque CD tracée dans ce plan, la droite AB qui joint au point B un point quelconaae de la perpendiculaire A a est perpendiculaire à CD {/ig. 297).

Il y a une seconde réciproque que nous nous contenterons d'énoncer : Si deux droites rectangulaires ont leurs projections rectangulaires, l'une d'elles au moins est parallèle au plan de projection.

Corollaire.

533. Considérons une droite quelconque AB et un plan Q perpendiculaire à cette droite ; soient ab la projection de AB sur un plan quelconque P [Jig. 298)^ et CD l'intersection des

plans P et Q, ou la trace du plan Q sur le plan P. Les deux droites AB et CD étant perpendiculaires Tune à l'autre, il doit en être de même de leurs projections ab et CD; de là ce théorème, fondamental en Géométrie descriptive : Lorsqu'une droite est perpendiculaire à un plan O, sa projection sur un