LIVRE V. — LE l'LAN. 'il

plan quelconque P est perpendiculaire à lu trace du plan O sur le plan P.

THÉORÈME

o3i. Lorsqu'une droite Ali est oblique à un plan P, l'angle aigu \\\b que cette droite fait avt^c sa projection sur ce plan est moindre que l'angle BAC qu'elle forme avec toute autre droite AC passant par son pied dans le plan [Jig- 299;.

t'ig- 299.

En effet, b élant la projeciiuii (ruii ptHiil quelconque B de la droite AB, prenons AC = A^ et menons BC. Les deux triangles \\\b, BAC ont deux côtés égaux; mais le troisième côté B6 du premier élant moindre que le troisième côté BC du second, puisque la perpendiculaire est plus courte que l'oblique, il faut (jue l'angle BA/> soit moindre que langle BAC.

SCOLIE

535. En faisant parcourir ;iu poini (] le cercle décrit dans le plan P, du point A comme centre avec \T) fiour ravon, on \(iit (jue l'oblique BC croît dune manière continue depuis le puini b jusqu'au point b' , puis décroît en re|)renant successivement les mêmes valeurs depuis 6' jusqu'en /;. Par suite, l'angle BAC, minimum lorsque le point C est en b, croît jusqu'à ce (|ue le point C soit en // : il est alois maximum; |»uis il décroît, en reprenant successivement les mêmes valeurs, depuis // jusqu'en b.

536. On appelle angle d'une droite et d'un plan l'angle aigu que cette droite forme avec sa projection sur ce plan.

537. On voit aisément (|ue l'angle d'une droite I) // d (ai plan P est égal à l'angle d'une droite quelconque D' parallèle à D et d'un plan quelconque P' parallèle à P.

22 GÉOMÉlKlIi DANS L' ESPACE.

THÉORÈME

538. Etant données deux droites AB et CD non situées dans le même plan : i° // existe une droite, et une seule, qui les rencontre l'une et l'autre à angle droit; 2° cette perpendiculaire commune est la plus courte distance des deux droites

P'ig. 3oo. Fij;. 00 1.

En elfei :

1° Par un point quelconque A de AB, menons la parallèle AE à CD; le plan BAE, que nous désignerons par P, sera parallèle à CD; par suite, nous aurons la projection de CD sur ce plan P en menant une parallèle de à la droite DC par la projection d d'un point quelconque D de cette droite. Cela posé, pour qu'une droite rencontre à la fois AB et CD à angle droit, il faut et il suffit qu'elle soit perpendiculaire au plan P en un point de AB, et qu'elle ait son pied sur cd, lieu des pieds des perpendiculaires au plan P menées par des divers points de CD. Or la perpendiculaire au plan P élevée parle point c commun à AB et à cd remplit- seule ces conditions. Il existe donc une droite Ce, et une seule qui rencontre à angle droii les deux droites données AB et CD.

a" Cette perpendiculaire commune Ce est moindre que toute autre droite BD joignant un point de AB à un point de CD. Car, Dd étant la projetante du point D, on a évidemment Cc=Di/etD(/<DB.

ScOLIES.

539. La démonstration (jui précède permet d'obtenir la plus courte distance des deux droites AB et CD. Voici un second procédé très usuel ( fig. 3oi),

Si Von prend pour plan de projection un plan P perpendiculaire à l'une quelconque AB des deux droites données AB et CD, la plus courte distance EF se projette en vraie gran-