LIVRE Vlir. — LES COURBES USUELLES

Corollaire :

1097. La soas-iangente en un point quelconque M d'une hélice est égale à l'abscisse curviligne de ce point.

En elïet, menons la tangente en P à la base du cylindre jusiiuà sa rencontre 0 avec la tangente en M à l'hélice ; c'est la longueur P9 qu'on nomme sous-tangente. Or le triangle rectangle PMÔ donne

P0 = PMtga=:^ j =5=:arcAP.

HOUYEMEM HÉLICOÏDAL.

1098. On donne le nom de solide ou de syslènie indéformable à tout système de points dont les dislances mutuelles restent les mêmes, quels que soient les déplacements que le système prenne dans l'espace.

Voici quelques propositions remarquables relatives à ces déplacements :

1° Nous avons vu au n" 175 qu'a/te figure plane indéformable, mobile dans son plan peut être amenée d^une quelconque de ses positions à toute autre par une rotation autour d'un point fixe.

Un raisonnement analogue prouve q\\i'' une figure sp/icriquc indéformable, mobile sur la sphère, peut être amenée d'une quelconque de ses positions à toute autre par une rotation autour d'un diamètre de la sphère.

2° Il résulte de là qu'un solide qui possède un point fixe peut être amené de l'une quelconque de ses positions à toute autre par une rotation autour d'un axe passant par le point fixe. Il suffit, pour démontrer cette proposition, de considérer une sphère ayant le point fixe pour centre et d'appliquer le théorème précédent à la figure suivant laquelle la sphère rencontre le solide.

3° Tout déplacement d'un solide^ libre de se mouvoir d'une manière quelconque dans l'espace, peut être produit par une translation et une rotation {fig. 5yi).

En effet, soient S la position primitive du solide et Si la po-

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

sition que ce solide a prise lorsqu'on a fait décrire à tous ses points des droites égales et parallèles à celle 00' qui unit la position initiale 0 à la position finale 0' de l'un de ses points. Ce mouvement, qui amène le solide de S en Si est une translation, et il reste à prouver que le passage de la position S, à a position finale S' peut être produit par une rotation. Or, cela résulte (3°) de ce que, dans ce passage, le point 0' reste fixe; l'axe de rotation L passe d'ailleurs par 0'.

On peut faire en sorte que l'axe de rotation soit parallèle à la translation.

En effet, soient P et P' deux plans perpendiculaires à l'axe L menés respectivement par les points 0 et 0', et soit I la projection de 0 sur le plan P'. La translation 00' peut êtreremplacée par deux autres : l'une 01, parallèle à l'axe L, l'autre 10', dans le plan P'. La première amène le plan P sur le plan P'; la seconde et la rotation autour de L déplacent le

plan P' sur lui-même et peuvent (i°) êlre remplacées à la fois par une rotation autour d'un point G du plan, c'est-à-dire autour d'un axe U perpendiculaire à ce plan. On a donc, en définitive, une translation 01 et une rotation autour d'un axe U parallèle à la tratislalion. On donne à cet axe U le nom à'axe central.

1099. On nomme mouvement hélicoïdal d'un solide un mouvement tel «\^ie les divers points de ce solide décrivent