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^^' cb'db" ■ '

qui, après qu'on y a remplacé les segments CA, CB, . . . par leurs valeurs OA —OC, OB —OC, . . . , revient, tous calculs etTectués, à la suivante :

(2) 7 + 7' = 'iPP\

dans laquelle les deux couples de points (A, B), (C, D), ne figurent plus que par leurs éléments {p, q), (//, r/). ,

Cela posé, supposons que, le couple (A, B) restant réel, la quantité p' ~g' devienne négative ; les points C et D cesseront d'exister, et la relation ( i ) n'aura plus de sens explicite; mais rien n'empêchera de la conserver comme manière symbolique d'écrire la relation (2) qui subsiste loujour>, et à laquelle la relation ( i ) se réduit lorsqu'on effectue les calculs d'après les règles de l'Algèbre. Ainsi, au lieu de dire que, lorsque p'^ — q est négatif, il n'existe plus de couple de points divisant harmoniquement le segment AB, mais qu'il existe seulement entre les éléments p,q,p\q , la relation {2), on pourra dire que le couple (C, D) des points qui divisent harmoniquement le segment AB devient imaginaire, et employer la forme symbolique ( 1 ), qui fait bien plus image que la relation (2^ à laquelle elle revient au fond. Les avantages de celte nouvelle manière de voir sont connus du lecteur qui est déjà versé dans l'Analyse algébrique. En Géométrie comme en Algèbre, l'introduction des imaginaires permet de généraliser les énoncés, évite les subdivisions, et leur emploi transitoire fournit des démonstrations rapides et élégantes.

Remarquons en terminant que, si (comme nous le supposons ioujours) les éléments p, q, //, </', sont réels, la relation (2) exige que l'une des deux quantités // — «y, p'^ — 7', soit positive ; car, si l'on avait à 1.1 l'ois

374 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

on aurait

ou, à cause de (2),

// -H />»'- — 2 />»/>'< o, c'esl-à-dire [p—p'Y<.o,

ce qui est absurde. Ainsi, quand deux couples de points en ligne droite forment une division harmonique, l'un des couples au moins est réel.

Rappelons enfin la signification géométrique de l'élément/^; cet élément exprime la distance de l'origine 0 [fg. 200) au milieu 1 du segment AB, puisqu'on a