LIVRE YIII. — LES COURnES USUELLES. ijS

coïncide avec son homologue dans le second faisceau. On obtient ces rayons en joignant le centre commun des deux faisceaux' aux points doubles des deux divisions homographiques, déterminées par les deux faisceaux sur une transversale arbitraire.

Lors<juiin angle lournc autour de non soiiunct S [Jii^. i>7 4', ^es deux

côtés engendrent deux faisceaux homographiques concentriques, car, les angles du premier faisceau étant respectivement égaux à ceux du second, quatre droites quelconques du premier faisceau ont (321) le môme rapport anharmonique que les quatre homologues du second. Les rayons doubles de ces deux faisceaux ^««/évidemment imaginaires, et il importe de remarquer que la position de ces rayons doubles imaginaires est indépendante de la grandeur de l'angle. En effet, soit L une transversale quelconque et l'SI, 0'60, J'SJ, trois positions de l'angle donné relatives, la première au cas où le second côté est parallèle à L, la seconde au cas où le premier côlé est perpendiculaire à L, et la troisième au cas où le premier côté est parallèle à L. Tout revient à trouver les points doubles imaginaires des deux divisions homographiques que les côtés de l'angle tracent sur L. Or I et .1' sont les points limilos de ces deux divisions, et 0, qui est évidemment leur milieu, est le milieu des points doubles; ces points sont donc, de part et d'aulre de 0, à une distance égale

(llOo)à

v/OJ'.OO' = /— OJ'.Ô'O.

Mais, puisque O'SO = J'SJ, l'angle O'SJ' est droit, et l'on a O'O.OJ' = SÔ' ;

donc, la distance du point 0 aux deux points doubles est égale à SO V — ' ! d'où l'on voit qu'elle dépend de la distance de la transversale L au sommet S de l'angle, mais en aucune manière de la grandeur de cet angle.

Réciproquement, lorsque deux divisions ho/nogra//hiques de nicmc base ont leurs points doubles i/nagimiires, on peut co/isidércr ces deux divisions comme tracées par un certain angle de grandeur constante tournant autour de son sommet. En effet, 1 et J' étant les homologues de l'infini.

376 GÉOMÉTIlIE DANS l'ESPACE.

0 leur milievi et 0' son homologue, décrivons une circonférence sur O'J' comme diamètre, jusqu'à la rencontre S (ou S,) de la perpendiculaire élevée par 0 sur la base L. L'angle OSO', en tournant autour du point S, tracera sur L deux divisions homographiques dont (0, 0'), (I, «5 ),(oo,J') seront trois couples de points homologues ; car, si l'on mène l'SJ parallèle à L, les angles OSJ, O'SJ', l'SO, étant droits, les angles JSJ', O'SO, rSI, seront égaux. Donc ces deux divisions, ayant trois couples de points liomologues communs avec les deux divisions proposées, ne diffèrent pas de celles-ci.

ixtensection d lne droite et d un cercle. — points cycliqins d'un plan,

1110, 11 résulte du n° 321 que : 1° lorsqiCun point mobile m décrit lin cercle, les droites P/«, P'w, qui joignent ce point h deux points Jïxes, V et P', pris h volonté sur la circonférence, forment deux faisceaux Iiomogiriphiques ; 1° lorsqu'une droite mobile enveloppe un cercle, elle trace sur deux tangentes Jïxes de ce cercle deux divisions homographiques.

Une droite quelconque L du plan d'un cercle C rencontre tnuj(nirs la circonférence en deux points [réels ou imaginaires) ; car, les deux divisions homographiques tracées sur L par les rayons Pw, P'/«, des deux faisceaux, ont toujours deux points doubles (réels ou imaginaires). Le milieu des deux points d'intersection est toujours réel: c'est la projection 0 du centre Q. du cercle sur la droite L ; car, si l'on choisit pour les points Pet ^' [Jïg- 5/5) les extrémités du diamètre perpendiculaire à L, les deux points I et J', homologues de l'infini dans les deux divisions homographiques ao. . . , a'o', . . , tracées sur L, coïncident avec 0, de sorte que 0 est le milieu des deux points doubles. Le carré de la distance des deux points d'intersection au point 0 est égal à la puissance du point 0 j)ar rapport au cercle, changée de signe. Car, puisque I et J'sont confondus avec 0, le produit Oa.Oa' est constant (IIOS), et le carré de la distance du point 0 aux deux points doubles est égal à cette constante; or, si S et ^' sont les deux points homologues qui répondent au point «, milieu du demi-cercle PwP', 0^ et Of^' sont en valeur absolue égaux à OP et à OP', et la constante est égale à — OP'.OP.

IHI. Considérons un cercle C [fig. 575) et la droite à l'infini située dans son plan. P et P' étant deux points fixes pris à volonté sur la circonférence C, les rayons V m et ?'/« tracent sur la droite de l'infini, quand le point /« décrit le cercle, deux divisions homographiques dont les points doubles imaginaires appartiennent à la fois à la droite et au cercle. Or,