LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

si w est un point pris à volonté dans le plan du cercle, les parallèles à Pm et P'w, menées par ce point, vont couper la droite de l'intini aux mêmes points a et a' que les rayons P/// et P'/«; d'ailleurs, l'angle «&)«' de ces

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parallèles est constant, puisque, en vertu de-la propriété de l'angle inscrit, l'inclinaison mutuelle des droites P/» et P'w ne varie pas; donc, les points d'intersection du cercle et de la droite de l'infini sont les points doubles imaginaires des deux divisions homographiques tracées sur cette droite par un angle de grandeur constante tournant autour du point w.

En faisant varier la position et la grandeur du cercle ainsi que la position des points P et P' sur le cercle, on ne fait que changer la grandeur de l'angle qui tourne autour du point fixe w, et, comme la situation des points doubles imaginaires est indépendante (1109) de la grandeur do l'angle, on arrive à cette conclusion : Tous les cercles situés dniis un plan ont les deux mêmes points imaginaires cnmnnins avec la droite à V infini de ce plan. Nous donnerons à ces. deux points, dont la considération est souvent utile, le nom de points c.ycliciues du plan.

Deux cercles quelconques, C et C, admettent donc la droite de l'infini pour corde commune. Vaxe radical L des deux cercles est une seconde corde commune; en effet, les points réels ou imaginaires où cet axe rencontre l'un quelconque des deux cercles sont de part et d'autre du pomt 0, à une distance égale à la racine carrée de la puissance, prise en signe contraire, du point 0 par rapport au cercle considéré ( 1110); et comme, si L est l'axe radical, le point 0 a la même puissance- par rapport aux deux cercles, on voit que l'axe radical coupe ces cercles aux deux mômes points.

Ainsi, deux cercles quclcnnipies ont tnujmrs quatre points d'intersection situés deux à deux sur deux cordes communes réelles, qui sont l'axe

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radical et la droite de l' tu fini. Les deux points d'intersection sïtue's sur l'axe radical peuvent être tous deux réels ou tous deux imaginaires. Quand tes cercles sont concentriques, l'axe radical passe à l'infini, les deux cordes communes se con fondent ,ei les deux cercles ont un double contact imagincdre à l'infini. Ces dernières idées ont été émises d'abord par Poncelet {Propriétés projectives, i'"* Section, Chapitre II); mais, depuis cette époque, l'introduction des imaginaires en Géométrie a donné lieu à de remarquables travaux (Smith, Annahs de Tortolini, 1869; Lagl'Erre, Nouvelles Annales, 1870, etc.).