LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 4oi

passent par un point unique, pôle de la droilc de l'infini ( 1137), et qu'on nomme centre de la conique.

La polaire du centre étant la droite de l'infini, les tangentes réelles ou imaginaires issues du centre ont leurs points de contact à l'infini; on leur donne le nom (ï asymptotes.

Quand un angle est circonscrit à une conique, la droite qui joint le sommet au milieu de la corde de contact est un diamètre ; car c'est la polaire du point à l'infini situé sur cette corde.

1143. On dit que deux diamètres sont conjugués- lorsque le pôle de l'un est situé sur l'autre. Le pôle d'un diamètre étant à l'infini sur la direction des cordes correspondantes, on voit que, si deux diamètres sont conjugués, chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre.

La polaire L d'un point p est parallèle au diamètre conjugué Où de

Fis. 585.

celui qui passe par ce point p (Jig. 585); car ce diamètre doit passer par le pôle du diamètre Oa et ce pôle est à l'infini sur Ob.

En particulier, si le diamètre aOa' rencontre la courbe, les tangentes T et T aux extrémités de ce diamètre sont parallèles à son conjugué Ob.

114-4. Plusieurs coupla de diamètres conjugués forment un faisceau en involution (iliO); les axes de symétrie de la courbe forment le couple de ravons homologues rectansulaires.

R. et DE C. — Tr. de Géom. (Il* Partie).

4o2 GÉOMÉTRIF! DANS l'eSPACE.

Dans l'ellipse {fig. 585), le sommet du faisceau, c'est-à-dire le centre de la courbe étant intérieur, il n'y a pas de rayons doubles; un couple quelconque de diamètres conjugués est alors séparé par tout autre couple. D'ailleurs tout diamètre coupe la courbe en deux points.

Dans l'hyperbole {fig. 586), le centre étant extérieur, le faisceau a pour rayons doubles les tangentes issues de ce point, c'est-à-dire les d'eux asymptotes. De là résultent diverses conscqiiences :

1° Le diamètre conjugué d'une asymptote est cette asymptote ellemême.

1° Deux diamètres conjugués quelconques OL et OL' divisent harmoniquement l'angle uOv des asymptotes.

3° De deux couples de diamètres conjugués (Ox, 0/) (OL, OL'), l'un est toujours compris dans l'autre.

4» De deux diamètres conjugués 0^ et Oj, l'un rencontre la courbe, l'autre ne la rencontre pas.

5° La portion 68' d'une tangente quelconque comprise entre les asymptotes est divisée en deux parties égales par le point de contact G; car 60' est parallèle au diamètre conjugué Oj de OC, c'est-à-dire au rayon Oj du faisceau harmonique (Oj-, Ou, Or, Oc) {fg. 586).

A cause de la symétrie par rapport au centre, la portion a-r' de la tangente en C comprise entre les asymptotes est égale et parallèle à 66' et la figure Ojj'ô' est un parallélogramme. Par analogie avec ce qui a été dit pour l'axe non transverse (1017), on donne à la partie DD' du diamètre non transverse Oj, qui est comprise dans le parallélogramme 6aa'6', le non de longueur de ce diamètre; mais ce n'est là qu'une dénomination introduite pour faciliter le langage, et il faut bien se garder de croire que les points D et D', quoique portant le nom â! extrémités du diamètre non transverse Oj, appartiennent à la courbe; il n'y a pas de points de la courbe sur j'o/.

114S. La polaire d'un point quelconque p du plan d'une ellipse ou d'une hyperbole rencontre le diamètre passant par le pôle p en un point p' qui est conjugué de p par rapport à la conique (1143). Les couples de points tels que p et // {fig. 585 et 586) forment sur ce diamètre une involution dont le point central est le centre 0 de la conique, puisque le conjugué de 0 est à l'infini (1112). Si ce diamètre est transverse (ellipse ou hyperbole), ses extrémités sont les points doubles de l'involulion, et l'on a, en appelant ^' J«*. demi-