LIVRE VIII. — Li:S COUIlBliS USUELLES. 4o

longueur de ce diamètre,

(i) Qjj.Op'=a'K

Si le diamètre est non Iransverse (hyperbole), il n'y a pas de points doubles; mais alors les points D et D', que nous sommes convenus d'ap[)eler les extrémités do ce diamètre, sont évidemment conjugués, car le pôle de DO est sur la polaire de 6, c'est-à-dire sur la droite CU' qui, étant parallèle à l'asymptote, est la corde de contact des tangentes 6« et 6C; on a dans ce cas

(2) Op.Op' = — b'\

b' étant la demi-longueur OD du diamètre non transverse.

1146. On nomme cordes supplémentaires deux cordes qui, partant d'un môme point m de la conique {Jïg. 587), aboutissent aux extrémités d'un même diamètre AA'. Deux cordes supplémentaires Am, A' m, sont parallèles à un système de diamètres conjugués. En effet, soient OC et OD deux diamètres respectivement parallèles à A'm et à km. OC, passant par le milieu 0 de A A', passe par le milieu h de A m; il divise donc en deux parties égales les cordes parallèles à OD. et par suite OC et OD sont conjugués. Inversement, deux droites Am et A' m menées par les extrémités d'un diamètre AA', parallèlement à deux diamètres conjugués quelconques OD et OC, se coupent sur la conique. Car désignons par }x le point où la corde A m parallèle à OD coupe la conique, et menons \i-A'\ les cordes supplémentaires A p., A' p., sont parallèles à deux diamèlres conjugués, et, comme A|x est parallèle à OD, M \l doit être parallèle à OC; elle ne diffère donc pas de A' m et les points m et |ji se confondent.

Cela posé, considérons séparément l'ellipse, l'iiyperbole et la parabole.

1147. L'ellipse n'ayant aucun point à l'infini, la droite de l'infini est extérieure à la courbe, et son pôle 0, c'est-à-dire le centre de l'ellipse, est à l'intérieur de la courbe. Tous les diamètres rencontrant la courbe en deux points réels sont limités; et, comme les tangentes issues du centre sont imaginaires, le faisceau en involution formé par les divers coui)les de diamètres conjugués n'a pas do rayons doubles; donc, un cou|)le quelconque (OA, OU) de deux diamètres conjugués est séparé \)m- tout autre couple (OC, OD); en d'autres termes, si OC est situé dans l'angle BOA {fîg. 587), OD est extérieur à cet angle.

Le diamètre AA' étant la polaire du point à l'infini sur le diunièlre

4o/i GÉOMÉlIilE DA.\S l'eSPACE.

conjugué OB, les cordes supplémentaires A m et A m' tracent sur 013, quand m se déplace sur la courbe, une involution dont B est un point double (H33). On a donc, en appelant n et «' les points où OB rencontre km et km\ la relation

(i) 0«.0// = ÔB^

Prenons pour axe des .r le dcmi-diamctrc 0.\, dont nous dcsii^ncrons la longueur par «', et pour axe desjr le demi-diamètre OB, dont nous désignerons la longueur par b' : r et x étant les coordonnées mp et Qp d'un point quelconque m do la conique, on a, en considérant d'abord les

triangles semblables //OA et mpA, puis les triaiiglcs semblables //'OA et mpA',

y On y On'

en multipliant membre à membre et en ayant égard à la relation (i). on obtient pour l'équation de l'ellipse

j2 b'^ .rî j 2

Si l'on désigne par .r', j»', et par x", y" les coordonnées des extrémités C et D des diamètres OC et OD parallèles aux cordes A'/w et km, on a, en considérant d'abord les triangles semblables OC9 et A'«'0, puis les triangles semblables ODr, A//0,

y' On' y" On^