LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. /^OD
en miiUi|iliant membre à membre et en ayant égard ù la relation (i), on Vrouve
Ci) -L^ = .
Le rapport —, reçoit le nom de coefficient angulaire du diamèlre OC, do
même "H; est le coefficient angulaire du diamètre OD.
Lorsqu'on prend pour axes de coordonnées les axes mêmes de la courbe, on a, en désignant par a le demi grand axe dirigé suivant Ox g\ par b le demi petit axe dirigé suivant Oy,
les coordonnées étant !il<irs rectan:;ulaircs, le coefficient angulaire —.est
égal à langCOA, et'— est égal à langDOA.
Il est facile d'exprimer les coordonnées x" , y" de l'extrémité D d'un diamèlre OD en fonction des coordonnées x', >', de l'extrémité C de son conjugué OC. En effet, le point C étant sur la courbe, ses coordonnées x' etj' satisfont à l'équation (4); on peut donc poser
a cosç.',
b sincî',
et de même
a coso",
b sin'v'.
La relation (5)
devient aU
rs
cosC'/ —
d'où
et, par suite,
- — (7sin Ci
= b coso' -
4o6 CÉOMÉTIUE DAXS l'eSPACE.
pour avoir les coordoiitiées de l'autre extrémité D' du diamètre OD, il suffirait de changer les signes.
Les relations (6) et (8) donnent
x'- -hx"^ = a-, y -h-y = IJ^ ;
donc 1(1 somme des carrés des projections orthogonales des deux demi" diamètres conjugués OC et OD sur chaque axe est constante. En ajoutant les deux égalités précédentes, on a
[x'^^Y'^^^[x"'-^y'^)^a-'-\-b' ou 5cVÔD = «=-^6^
donc , la somme des carrés de deux demi-diamètres conjugués est cori' stante.
Le triangle OCD est la moitié du parallélogramme construit sur les deux demi-diamètres conjugués OC et OD. Il est égal au trapèze CD/7, diminué de la somme des deux triangles rectangles OCy, ODr; son aire a donc pour, expression
ou - ab, eu égard aux formules (6) et (8). Donc, Vaire du parallélogramme construit sur deux demi-diamètres conjugués est constante.
Les deux derniers théorèmes sont dus à Apollonius.
La proposition précédente peut s'écrire, d'après une expression bien connue de l'aire du triangle,
OC.ODsLnCOD=r/^.
L'angle obtus COD de deux diamètres conjugués est maximum quand son
sinus est minimum, c'est-à-dire quand le produit OC.OD ou son carré est
— 2 — 2 maximum; ce qui a lieu pour OC = OD, puisque OC -+-0D est constant.
Ainsi, les diamètres conjugués qui foitt le plus grand angle sont les diamètres conjugue's égaux. Le carré de leur demi-longueur commune est
- («■■'-(- 6^), et l'on a
-[d' -^b'^) = X- ' -^ y = a' cos' 'f ' -4- ¥ sin' 'i*'.
On déduit de là sin'^' = — - = cos'f' : par suite, les coordonnées x' et y
du point C sont alors proporliunnelles à a et ^, de sorte que les diamètres conjugués égaux sont dirigés suiva/it les diagonales du rectangle construit sur les axes.
