LIVRE Mil. — LES COURBES USUELLES

L'angle COD de deux demi-diamèlres conjugués est droit lorsque OC coïncide avec le grand axe, puis il augmente jusqu'à ce que OC soit dirigé suivant une diagonale du rectangle des axes; il diminue ensuite et redevient droit lorsque OC reprend la position du petit axe.

Quand les axes a et h de l'ellipse sont égaux entre eux, l'équation (4) se réduit à x- -1-7' = «'; tous les points de la courbe sont donc à une distance du centre égale à «; en d'autres termes, l'ellipse dégénère en un cercle.

Pour une même abscisse Op {Jig. 588), c'est-à-dire pour une même

FijT. 588.

valeur de l'angle ij)', l'ordonnée niji de l'ellipse est isin«', et celle np du cercle décrit sur le grand axe comme diamètre est a sm-^ ; le rapport —

, , . è est donc constant et eijal a - • a

Remarquons enfin que l'angle auxiliaire çp', dont l'emploi est si commode, est précisément l'angle nOp.

1148. Vliyperbolc ayant deux points réels sur la droite de l'infini, son centre est extérieur à la courbe (1133); les tangentes 0//, 0»-, issues du centre, c'est-à-dire les asymptotes, sont donc réelles; ce sont les rayons doubles du faisceau en involution formé par les deux couples de diamètres conjugués. Il suit de là que deux diamètres conjugués (iiielconques divisent harmoniquement Vangle des asymptotes et qu'aucun couple de diamètres conjugués n'est séparé par aucun autre. Knfin, de deux diamètres conjugués, l'un rencontre réellement la courbe et l'autre ne la rencontre pas (1144).

Les portions AE, AE' [fig. 589) d'une tangente comprise entre l'hyperbole et SCS asymptotes sont égales; car les asymptotes 0« et Of, le diamètre 0A.r et son conjugué 0/ forment un faisceau liarmonique, et la tangente EAE', étant parallèle au rayon 0.)- d(^ ce faisceau (Il V.\), est divisée en deux parties égales par les autn.s rayons. Il suit de là que, si l'on mène AP et AP' parallèles aux asymptotes, P est le milieu de OE et F' le milieu de OE'; donc, loi-stpi'on prend les asymptotes pour axes de

4oS

GÉOMÉTRIE DANS L ICSi'ACE.

coordonnées , In sous-tan gcnte OE' est double de Pobscisse OP' du point (le contact.

Les portions gni et g' m' d'une sécante gg', comprises entre l'hyperbole et ses asymptotes, sont égales. En eiïet, soit EAE' la tangente parallèle à gg\ et OA le diamètre qui passe au point de contact; ce diamètre divise la corde mm' de l'hyperbole en deux parties ini et im' égales entre ("lies; mais, puisque A est le milieu de EE', i est évidemment le milieu de la parallèle gg \ donc ig — ig\ et, par %\i\le, ig ~ im ou gm est égal à ig' — im' ou g' ni' .

Une tangente quelconque EAE', lorsque son point de contact A se déplace sur la courbe, trace sur les asymptotes (1130) deux divi?ioiis ho-