I-is

mographiques ; et, comme le point 0 correspond évidemment à l'infini dans l'une et l'autre division, le produit OE.OE' est constant; il en est donc de même de l'aire du triangle OEE' et, par suite, de l'aire du parallélogramme OPAP', qui est la moitié de ce triangle. On voit par là que, si l'on désigne par x et j»' les coordonnées d'un point quelconque A de Ihyperbole rapportée à ses asymptotes, 0« et Oc, on a pour Téqualion de cette courbe xy = const.

11-49. AOA' étant un diamètre transverse quelconque de l'hyperbole, menons les tangentes en A et A' qui coupent les asymptotes, la première en E et E', l'autre en F et F'. Les triangles OAE,AO'F',sontcgaux, puisqu'ils ont leurs angles respectivement égaux et que OA = OA'; donc AE = A'F'; par suite, les droites EE', FF', sont égales, et, comme elles sont parallèles (1113), la figure EFF'E' est un parallélogramme dont 0 est le centre. Soient B et B'^les points où le diamètre rOj' conjugué de OA rencontre EF etE'F'; B est le milieu de EF, B' celui de E'F', les droites AB', A'B, sont parallèles à l'asymptote 0», et les droites AB et A'B' à l'asymptote Oi'.

Cela étant, posons OA = r/', OB = //, et prenons les deux demi-diamètres conjugués OA jt, 0B), ^)our axes des coordonnées; m étant un

LlVIiE VIII. — I.KS COl'RBKS USUELLES. 4^9

point quelconque de riiyporbole, les deux cordes supplémeninires A m, A'///, déterminent sur le diamotrejO /deux points «el// qui engendrent une involution (II Î7) dont B et B' sont évidemment deux points homologues. On a donc

Ofi.O//'= 03. OB' = —b'\

Dès lors, tous les raisonnements faits et les résultats obtenus pour l'ellipse subsistent, en changeant b'^ en — b'' ou b' en b' ^ — i. Ainsi : 1° L'hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués a pour équation

Pour x = G, on a,r = =^ b' v^ — i ; de là le nom de Inii'^m nr du demi* diamètre non trnnsverse attribué à OB = b' .

a ç\ b étant les longueurs des deux axes, on a, en preiuml ces droilys pour axes de coordonnées rectangulaires,

Los triangles semblables g^/0, EAO, donnent

si EA b' -} b'-'—t

on a d'ailleurs, par l'équation de l'hyperbole,

nu =-—10/ — f ' ) ;

donc, en retranchant,

^i — nu = b'^ ou

ô" = {.i,''H- /;//) [oi — mi) = i^in.gm' = nvj;.niç;' ;

a.nsi le profltiit des scç^mrnts dhiiic sécante, conijuis entre un point de la courbe et les asymptotes, est égal au carré du demi-diamètre parallèle à ia sécante.

1° La relation entre les coefficients angulaires de deux demi-diamètres conjugués est

— ''—„ — — i ou •-••— = —,

X j: a^ XX a^

suivant qu'on prend pour axes de coordonnées les demi-diamètres conjugués a et b' ou les <lemi-axes a et b de la courbe.

4lO GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

3° Les coordonnées de l'extrémité d'un demi-diamètre s'expriment en fonction des coordonnées de l'extrémité du demi-diametre conjugué par les toi mules

qui sontdues à M. Chasles [Aperçu historique, etc.).

4° La différence des carrés des projections de deux demi-diamètres conjugués sur un axe est constante. La différence des carrés de deux diamètres conjugués ciueiconques est constante, ainsi (jue l'aire du parallélogramme construit sur ces dia/nètres.

La relation r/'^ — b'^= a^— b^ montre que, si «est différent de b, «'est différent de b' ; l'hyperbole n'a donc pas de diamètres conjugués égaux.

Si a =^ b, on a a' — b', c'est-à-dire que tout diamètre est alors égal à

son conjugué, et l'hyperbole est dite équilatère. Le parallélogramme

EE'F'F construit sur deux diamètres conjugués quelconques est dans

' ce. cas un losange, et les asymptotes qui en sont les diagonales sont alors

rectangulaires.

Nous avons vu (1148) que l'hyperbole rapportée à ses asymptotes a pour équation xy = K^ ; en supposant que dans \^fg. 58ij les droites OA et OB soient les axes « et 6 de la courbe, le parallélogramme 0 A E' B' sera un rectangle, et les coordonnées OP' et P'A du sommet A par rapport aux asymptotes seront l'une et l'autre égales à la moitié de la diagonale \/ a' -f- b^ de ce rectangle ; on a donc

pour une hyperbole quelconque, et, en particulier pour Thyperbole équilatère,K' = - a'^. On donne souvent à cette constante K^ que nous venons d'exprimer en fonction des axes, le nom de puissance de l'hyperbole.

THÉORÈME

HoO. Da//s l'ellipse et dans l'hyperbole :

1 ° Deux diamètres conjugués quelconques interceptent sur une tcmgente fixe ST deux segments CT et CS dont le produit est constant.

■2° Une tangente TJ\IT' détermine sur deux tangentes fixes et parallèles deux segments CT, CT dont le produit est constant {fig. 690).

En effet :

1° Le faisceau iavolutif formé par les divers couples de diamètres conjugués détermine, sur la tangente fixe SCT, une involution. Le point de