CT.CS

est négatif dans l'ellipse et positif dans l'hyperbole. Quant à sa xmleur absolue elle est, pour l'une et l'autre courbe, e'gnle au carré'du demidiamètre OD jiarallèlc à la tangente SCT. En effet, supposons que CT soit égal à OD; alors, dans l'ellipse {fg. 590), DT étant parallèle à OC, C'T' et son égal SC sont égaux à OD; dans l'hyperbole {Jîg. 586), T est alors en 6 sur l'asymptote, en vertu de la définition (1144) de la longueur du demi-diamètre non transversc OD, et comme c'est le point double de l'involulion, S est aussi en 6 et par suite CT comme CS csl égal à OD.

PROBLEME

HoS. Voici quelques problèmes usuels relatifs à l'ellipse et à l'hyperbole.

1° Construire une liyperbole connaissant Us nsj niptotes Ox et Oy et un point E (J/g. 69 1).

En menant par le point donné E une droite quelconque, prenant les points d'intersection H et H' de cette droite avec les asymptotes, puis portant H'E' = EU, on aura un nouveau point E' de la courbe (lliS). La tangente E'T en ce point s'obtiendra en menant E'K parallèle à Oj-, puis en prenant KT = OK (Hi8). On obtiendra ainsi autant de points que l'on voudra de l'iiyperbole ot les tangentes en ces points.

Les axes seront dirigés suivant les bissectrices Oaet Op des angles des asymptotes. Le point E et par suite la courbe étant ici situes dans l'angle yOx des asymptotes et dans son opposé par le sommet, ce sera sur la bissectrice Oa de l'angle jO.r que sera l'axe transverse. En menant par E la parallèle à Op jusqu'à ses rencontres R et S avec les asymptotes, et construisant la moyenne proportionnelle Ee entre les segments RE, ES, on aura (11-49; la demi-longueur h de l'axe non transverse; on portera celte longueur de 0 en B, sur OP; [mis, en menant RA parallèle à 0,r, on obtiendra sur Oale point A qui donnera la demilongueur OX de Taxe transverse.

On pourrait, si l'on voulait, commencer par déterminer a en menant par E une parallèle à Oa.

2° Construire les axes d'une hyperbole ou d'une ellipse connaissant en grandeur et position un système de diamètres conjugués.

Pour l'hyperbole, il faut indiquer en outre quel est celui des deux demi-diamètres donnes qui est transverse; l'exlrcmité de ce denii-dia-