LIVRE Vlir. — LES COLKBES LSLELLES. 4l
mètre est alors un point donné de la courbe, et, comme les diagonales du parallélogramme construit sur les diamcîres conjugues donnés sont les asymptotes, on voit qu'on est ramené au problème précédent.
Pour l'ellipse, on déterminera par le procédé du n" 1119 le couple Ox, Of de rayons homologues rectangulaires dans le faisceau involulif formé d'une part par le couple donné OC et OD de diamètres conjugués et d'autre part par le couple dirigé suivant les diagonales OE et 01 du parallélogramme construit sur le premier couple. Puis, pour avoir, par exemple, la longueur de l'axe dirigé suivant 0^, on observera que la projection P de E sur Ox est le pied de la polaire du point T où le côté DE, c'est-à-dire la tangente en E, coupe Ox, en sorte que la longueur cherchée sera la moyenne proportionnelle entre OP et OT.
Nous laissons au lecteur le soin d'effectuer cette construction; nous avons déjà donné (1071) une autre solution du même problème.
3° Trouver le diamètre conjugué d'un diamètre donné 0!M, connaissant en grandeur et en position un premier couple de diamètres confugués AA', BB' {fg. 592).
La solution est très-simple pour l'hyperbole. En menant les diago-
Fig. 592.
nalcs du parallélogramme construit sur les deux diamètres AA' et BB', on a les asymptotes OC et OD. Or, le diamètre cherché ON est le conjugué harmonique du diamètre donné O.M par rapport à l'angle COD des asymptotes; on aura donc un point K de ce diamètre ON, en menant une parallèle à OD, et en portant sur cette ligne, à partir du point I où elle coupe OC, un segment IK égal et opposé au segment IG intercepté dans l'angle COM.
Pour l'ellipse, on opère de même. Seulement, après avoir trouvé le point K, on mène par ce point une parallèle à OA, jusqu'à sa rencontre 11 avec OB, et l'on prolonge Kil d'une quantité égale HK'.
4l4 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
OK' sera le diamètre conjugué do OM. En effet, prenons pour axes coordonnés les droites OA et OB, et soient x et j les coordonnées d'un point quelconque de OM, x^ et ji les coordonnées du point K, x' et j' les coordonnées du point K'. Puisque OK est le conjugué de OM dans l'hyperbole qui a pour diamètres conjugués
OA = a'
ot
OB = b\
on a la relation
Xi X àqui, à cause des égalités évidentes
devient
x' x'' ft'2 '
OK' et OM sont donc conjugués par rapport à l'ellipse ayant OA et OB pour diamètres conjugués.
PROBLÈME
HS3. Construire danx l'ellipse ou dans Vhyperhole un couple de diamètres conjugués faisant entre eux un angle donné.
A l'aide d'un cercle G passant par le centre 0 et conformément aux prescriptions du n° 1119, on construira le point w relatif au faisceau involutif formé par les divers couples de diamètres conjugués; il suffira pour cela de connaître deux premiers couples, par exemple les deux asymptotes dans l'hyperbole, et dans l'ellipse les axes et les diagonales de leur rectangle. Il restera à mener par w une sécante détachant dans le cercle une corde pq qui soit vue du point to sous l'angle donné 6; 0/? et 0^ formeront alors le couple cherché. Or le tracé de la sécante en question revient à inscrire dans G un triangle ayant l'un de ses angles égal à ô, puis à mener par le point w une tangente à un cercle concentrique au cercle G et tangent au côté du triangle qui est opposé à l'angle 6.
Nous laissons au lecteur le soin d'effectuer les constructions et de
