TRACES RELATIFS AUX CONIQUES

1186. Construire une conique connaissant :

1° Cinq points ^/, b, c, d, e. — abcd forme un quadrilatère inscrit dans la conique cherchée. Par le point e, on mènera une droite quelconque ef et l'on cherchera le point /conjugué du point c dans l'inv-olution déterminée sur cette droite par les points où elle rencontre les côtés opposés (lu quadrilatère. Le point /appartiendra à la conicjue.

Si l'on veut trouver la tangente bt en b, on regardera acbt comme un quadrilatère inscrit, dont deux sommets sont infiniment voisins en b, et la droite ed comme une transversale de ce quadrilatère. Celte transversale coupe les côtés opposés ba, bc, en x, 7, la courbe en e et d, et lc3

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côtés opposés ac, bi, en S et x. Ces six points formant une involution, on déterminera le point x, et par suite la tangente ùt.

2° Cinq tangentes. A, B, C, D, E. — Quatre des tangentes données forment un quadrilatère circonscrit. Qu'on prenne sur la cinquième un point quelconque a et qu'on le joigne aux quatre sommets du quadrilatère; le sixième rayon, conjugué à la cinquième tangente dans l'involution que ces quatre droites déterminent, est une tangente issue du point a.

Supposons qu'on veuille trouver le point de contact de la tangente B. On considère le quadrilatère formé par les tangentes A, C, B, dont deux côtés se confondenten un seul suivant B, et dont (A, C), (A, B), (B, C) et t sont les quatre sommets. Le sommet / est incoimu, mais les six rayons qui aboutissent au point de concours I de D et E, savoir : D, E, 1 (A, B), I(B,C),I(A, C), I^ sont en involution, et cinq sont connus. Il sera donc facile de déterminer le sixième et, par suite, le point cherché t.

Dans le cas de la parabole, la cinquième tangente est donnée implicitement : c'est la droite de l'infini. Les quatre qui sont données forment un quadrilatère. Par les sommets de ce quadrilatère, on mènera quatre parallèles dans une direction arbitraire; on les coupera par une transversale quelconque, sur laquelle on cherchera le point central de l'involution qu'elles y déterminent, et la parallèle aux autres droites menée par ce point sera une cinquième tangente.

3° Quatre points et une tangente. — Soient abcd le quadrilatère donné et e le point de contact inconnu de la tangente. Soient a, a', et S, p', les points où cette tangente rencontre successivement les côtés opposés du quadrilatère. Ces points déterminent une involution dont e est un point double. Il sera donc facile de le trouver. On voit que la question a deux solutions.

Dans le cas de la parabole, la tangente est à l'infini. Soit S le point de concours des côtés opposés od et bc du quadrilatère donné. Qu'on mène Se', Sr/', parallèles respectivement aux deux autres côtés opposés; on a quatre rayons Se', Sf/', Se, Sr/, issus du point S, qui, conjugués deux à deux, déterminent une involution. Chacun des deux rayons doubles de cette involution est parallèle à l'axe d'une parabole qui satisfait à la question.

4° Quatre tangentes et un point. — On trouve une cinquième tangente en cherchant les rayons doubles de l'involution qui est déterminée par les quatre rayons, conjugués deux à deux, qu'on obtient en joignant le loint donné aux sommets du quadrilatère formé par les quatre tangentes données. Chacun des deux rayons doubles est une tangente à la conique; on a donc deux solutions distinctes.

Pour la parabole, on donne un point et trois tangentes; la quatrième

IIVKE VIII. — LES COL'RBES USUELLES. 4^3

est à l'infini. La solution est la même; deux des rayons de l'involution sont parallèles respectivement à deux des tangentes données.

5" Trois jmints et deux tangentes. — Soient a, h, r, les trois points donnés, T et T' les deux tangentes qui se coupent en 0 et qui touchent respectivement la courbe aux deux points <t et e qu'il s'agit de déterminer. On peut regarder la corde de contact de comme représentant un quadrilatère inscrit dont deux sommets sont en r/et les deux autres en e. La corde //r, considérée comme une transversale du quadrilatère et de la courbe, fournil une relation d'involulion, en vertu du théorème de Desargues, entre les six points où elle coupe les côtés opposés du quadrilatère et la courbe. Ces points se réduisent ici à cinq, savoir : /, /', sur les tangentes /^/O, cO, respectivement; s, sur les deux autres côtés opposés qui se confondent en un seul de\ et enfin b, c, sur la courbe. Le point s est donc un point double de l'involution déterminée par les segments bc, tt'.— Si l'on prend «^ comme transversale au lieu de bc, on trouvera de même un point ^ appartenant à la corde de contact de, qui sera ainsi déterminée par les deux points t et cp. Mais comme chacune des deux relations d'involulion fournit deux points doubles » et s', y et 7', on obtiendra quatre positions distinctes de la corde de, savoir : î^, £'/, s'f, î''/, c'est-à-dire quatre solutions du problème proposé.

Dans le cas de la parabole où l'on ne donne qu'une tangente et trois points, on obtient de même quatre solutions. La tangente T' est à l'infini, ainsi que le point t'; donc, le point t qui lui est conjugué dans l'involution est le point central de cette involution, dont on connaît en outre le segment /'c et dont il s'agit de trouver les points doubles. Chacune des quatre cordes de contact îf est un diamètre d'une parabole satisfaisant aux conditions proposées.

6° Trois tangentes et deux points, — Nous allons déterminer deux nouvelles tangentes à la courbe aux points donnés «et A. Soient AB,BC,CD, celles qui sont données. Désignons par 0 le point de contact inconnu des deux tangentes cherchées; si l'on regarde l'angle /;0« comme un quadrilatère circonscrit OaOb dont les côtés adjacents se sont confondus deux à deux en un seul On ou Ob, on verra que la droite BO est un rayon double de l'involution formée par les deux couples de rayons conjugués Ba et Ub, B.\ et BC. Pareillement, CO est un rayon double de l'involution C.a, Cb, CB, CD. Donc, le point 0, intersection des rayons BO et CO, est déterminé. Mais, comme chacune des involutions comporte deux tels rayons, on obtient quatre positions distinctes du point 0, et, par conséquent, le problème admet, comme lo précéflent, quatre solutions.

S'il s'agit (l'une [)arabole, l'une des trois tangentes données esta l'infini, BC par exemple. La construction reste la même en principe; mais ici les deux faisceaux de rayons en involulion se composent de droites parallèles,

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puisque leurs rayons respectifs B et C sont à {"infini. Coupons-les par une transversale quelconque. On aura sur cette droite, relativement au premier faisceau : deux points x, p, intersections des rayons conjugués aB, ^B; un point w, intersection du rayon AB dont le conjugué CB est à l'infini, ce qui est cause que w est le point central de l'involulion; enfin un point double x, intersection du rayon BX, et qu'il s'agit de déterminer. Relativement au second faisceau, on aura de même deux points conjugués d'une involution x', ê', un point central w', et l'on déterminera un point double j. Lc'S droites .rO, jO, parallèles respectivement aux deux tangentes données AB, DC, se couperont au sommet 0 de l'angle circonscrit à l'arc ab de la parabole, et l'on aura encore quatre solutions, parce que l'on obtiendra deux positions du point x et deux positions du point /.

1187. Les solutions précédentes, qui sont extraites d'un excellent article de M. de Jonquières, publié dans le tome XVI des Nouvelles annales (T* série) , sont fondées sur le théorème de Desargues et le théorème corrélatif.

Les autres théorèmes généraux (proposition fondamentale du n" 1131, théorème de Pascal, théorème de Carnot, etc.) fourniraient de nouvelles solutions.

Reprenons, par exemple, le premier cas, c'est-à-dire celui où l'on donne cinq points a, b, c, d, e, et appliquons la proposition fondamentale du n° 1131. On prendra deux des points donnés d et e comme sommets des deux faisceaux homographiques dont on aura alors trois couples [da, ea), [db, cb), [de, ec) de rayons homologues. L'intersection d'une droite dm menée à volonté par d et de son homologue em sera un nouveau point de la conique. — La tangente au point d sera l'homologue du rayon ed considéré comme appartenant au faisceau (<?), et cette construction donnera la tangente en un point quelconque de la conique, car il suffira de considérer ce point comme le sommet de l'un des faisceaux générateurs. — Les points où une droite donnée L rencontre la conique seront les points doubles des deux divisions tracées sur cette droite par les deux faisceaux. — Les directions des asymptotes s'obtiendront en transportant le faisceau [e) parallèlement à lui-même au sommet d, et prenant les rayons doubles du faisceau [d) et du faisceau [e] ainsi transporté; car ces rayons doubles sont les rayons du faisceau [d) dont les homologues dans [e) sont parallèles.— Enfin, une fois les deux points à l'infini u et w' ainsi déterminés, on aura les asymptotes elles-mêmes en menant les tangentes en ces deux points, ce qui se fait en considérant la conique comme engendrée par deux faisceaux ayant w et w'pour centres et prenant dans chaque faisceau l'homologue de la droite à l'infini ww'. Voici le détail de ces opérations : par a, b, c, on mène des parallèles r? a,