LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES
5p, CY, et «a', 6^', cy', aux droites déjà trouvées chù, doj'; soient X, p, Y' °''' P' Y ' '^s points où ces droites rencontrent une transversale quelconque L ; la droite ww' rencontre L à l'infini; on déterminera les points I et J' conjugués de l'infini dans les deux divisions déterminées par les trois couples (a. a), (^, p'), (y, y'); les droites menées par I parallèlement à r/co et par J' parallèlement à cUo' seront les asymptotes.
Indiquons maintenant la solution fondée sur le théorème de Pascal. — Pour avoir le point /où une droite quelconque menée par a rencontre la courbe, on considérera l'hexagone inscrit dont les sommets seraient fi, b, c, d, e,J [Jii^. -212). On prendra le point // commun aux côtés opposés «/et ff/, le point / commun à ab et f/e; la droite ni contiendra le point de concours du côté bc et du côté inconnu cf-^ on aura donc ce point de concours m par la rencontre de bc et de In. Dès lors, les droites r//et me donneront le point demandé /. — On obtient la tangente en a en considérant ie pentagone abcde comme un hexagone abcdef dont deux sommets voisins a et /seraient confondus; le côté «/est alors remplacé par la tangente en .?, qu'il s'agit de déterminer. A cet effet, on prendra l'intersection /de baf H de de, l'intersection m de bc et de ea; la droite misera la droite qui joint les points de concours des couples de côtés opposés; elle contiendra donc le point de concours de cd ei de la tangente en «; ce point sera donc à la rencontre n de cd et de fil, et an sera la tangente cherchée. Ces constructions sont, au fond, d'une grande simplicité.
La tangente en a une fois connue, on peut trouver les éléments de la courbe par la théorie des figures homologiques, comme nous l'avons expliqué au n" 1179, 3°.
Nous devons faire connaître ici une généralisation remarquable du théorème de Pascal, qui est due à M. .\ubert {Naiwelles Annalex, V série, tome VIII) et qui donne neuf points en ligne droite.
La proposition de .M. Aubert peut s'énoncer ainsi :
.Si deux triangles ABC, A'B'C inscrits dans une conu[ue sont bonwlogiques , et si l'on prend un point I sur la conique, les points de concours ol, ^, -( des droites BC et lA', GA et IB', AB et [C sont situes sur une même droite L passant par le centre d'Iiomologie D.
En effet, considérons les trois hexagones 1A'A.BCC', JB'BCAA', IC'CABB'; ils ont un sommet commun 1 et chacun des autres sommets se déduit de ceux de l'hexagone précédent par une permutation circulaire effectuée sur les lettres. Les trois droites de Pascal corrcs-
É031É1U1K DA>S LKSrACE
pondantes
lA'
