LIVRE VIII. — LES COIKBES L'SLELLES, \:)-J

Le centre vaut deux conditions, puisque c'est le pôle de la droite do l'infini.

Viïi foyer vaut aussi deux conditions, puisque les droites qui joignent ce point aux deux points cycliques du plan sont tangentes à la conique. On peut aussi remarquer qu'un foyer /"et trois points a, b, c. déterminent la conique : la directrice coupe en effet la droite ab sur la bissectrice du supplément de l'angle afb ( 1138 ), etc.

Un axe vaut deux conditions, puisque, si l'on donne en outre trois points de la conicpie, on a trois nouveaux points de cette courbe en prenant les symétriques des premiers par rapport à l'axe. 11 résulte de là qu'un sommet équivaut à deux conditions, car, si l'on donne en outre la tangente en ce point, on aura par là même un axe et un point, c'est-àdire trois conditions.

Dire qu'une conique est une parabole équivaut à une condition, puisque c'est donner une tangente (la droite de l'infini). — Dire que la conique est un cercle équivaut à deux conditions, puisque c'est donner deux points de la courbe (les deux points cycliques du plan). — Savoir qu'une conique est une hyperbole équilatère équivaut à une condition; cela résulte de ce que deux points A et B et une asymptote L (^ c'est-à-dire quatre conditions; déterminent une hyperbole équilatère. En effet, le théorème des sécantes donne le point où la corde AB coupe l'autre asymptote qui est dès lors déterminée puisqu'elle est perpendiculaire à la première.

1189. A tout système de quatre conditions simples ré[)ondr'nt une infinité de coniques formant un groupe. Soient ii. et v les nombres des coniques du groupe qui remplissent, outre les quatre conditions données, celle de passer par un point donné ou de loucher une droite donnée. Les nombres u- et v on! reçu le nom de caractéristiques du groupe considéré.

Il résulte dos sululions données aux n- 1186 et suivants que les grou[)es de coniques passant par quatre points, passant par trois points et touchant une droite, passant par deux points et touchant deux droites, passant par un point et touchant trois droites, louchant quatre droites, ont respectivement pour caractéristiques

Les propriétés d'un groupe de coniiiues dépendent essentiellement des caractéri^liques de ce groupe, et l'étude, de celte dépendance constitue ' une belle théorie créée tout récemment par M. Chasles et par ses continuateurs, de.Tonquières, Zeuthen, etc. Nous ne saurions exposer mémo les principes de cette théorie sans sortir de noire cadre ; nous nous bornerons à ofirir au lecteur un exemple très-simple.

Le lieu des pôles (Vune droite Jivc L, par rapport aux coniques du

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f;roupe qui a pour carnctérisliques p, et v, est une ligne ch: V ordre v. En effet, la droite L ne peut rencontrer le lieu qu'autant qu'elle contient son pôle, c'est-à-dire que lorsqu'elle touche l'une des coniques du système; or le nombre des coniques au groupe qui touchent une droite quelconque, et par suite la droite donnée, est par hypothèse égal à v.

On conclut de là, en supposante droite L à l'infini, que le lieu des centres des coniques passant par quatre points donnés est de l'ordre 2, c'est-à-dire est une conique, et que le lieu des centres des coniques tangentes h (paître droites est de l'ordre i , c'est-à-dire est une ligne droite; nous avons déjà trouvé ces deux théorèmes par une autre voie.

dl90. Construire les points coninnins à deux coniques 2 et 2,',

On commencera par chercher les pôles doubles (1171). Pour cela, on construira une conique auxiliaire G, lieu des points de rencontre des polaires par rapport à 2 et à 2' des divers points d'une droite L choisie à volonté. On construira de même une seconde conique auxiliaire G', définie de la même manière relativement à une seconde droite L' prise aussi arbitrairement. Ces deux coniques G et G' auront évidemment en commun le point w d'intersection des polaires par rapport à 2 et à 2' du point de rencontre des droites L et L' ; elles auront donc trois autres points communs; ces points seront les pôles doubles^, p' , p". En effet, soit m l'un de ces points communs; puisqu'il appartient à la conique G, il sera à la rencontre des polaires d'un certain point n de L et, par suite, inversement, les polaires de m passeront par /<; de même, puisque /// appartient à la conique G', ses polaires passeront par un certain point n' delà droite L'; donc les polaires du point m coïncideront l'une et l'autre avec la droite nn\ ce qui démontre que /«est un pôle double.

Cela posé, deux cas peuvent se présenter :

Si les coniques auxiliaires G et G' n'ont que deux points communs réels oj et/?, il n'y aura qu'un pôle double réel . On déterminera alors lesdeux cordes communes qui passent par ce point; leurs intersections avec l'une des coniques seront les points demandés ; deux d'entre eux seulement seront réels(1171). Pouravoirles deux cordescommunes, on prendra deux points à volonté?/ et c; on cherchera le point commun u' aux deux polaires de « et le point commun c' aux deux polaires de c ; les cordes communes demandées diviseront harmoniquement les deux angles upu\ vpv' ; en effet, la polaire de u par rapport au système des deux cordes communes passe (1174) par u' ; cette polaire est donc />»«', et, par suite, pu et pu' sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux cordes communes.

Si les coniques auxiliaires G et G' ont quatre points communs réels oi, p,p',p", il y a trois pôles doubles réels p^p'.p"., par chacun d"eux passe un couple de cordes communes, et l'un de ces couples au moins est réel;