LIVRE MU. — LES COLRBES USUELLES

on le déterminera comme ci-dessus, et l'on prendra les inlersections des droites du couple avec l'une des coniques; les quatre points seront tous réels ou tous imaginaires.

On voit que la solution consiste à réduire la question à la recherche analogue pour deux autres coniques qui passent par un point connu. On remplace ainsi un problème du quatrième degré par un problème du troisième; au fond, on ne fait pas autre chose en Géométrie analytique, puisqu'on y ramène la question à la résolution d'une équation du troisième degré connue sous le nom Adéquation en a.

La recherche des tangentes comnmues s'effectue par des tracés corrélatifs des précédents et qu'il suffit, dès lors, d'indiquer d'une manière rapide.

Autour d'un point pris à volonté, on fait tourner une droite dont on prend les pôles par rapport à S et à 2'; la droite qui joint ces pôles enveloppe une conique auxiliaire. Un second point, choisi aussi d'une manière arbitraire, donne d'une manière analogue une seconde conique. Ces deux coniques auxiliaires touchent l'une et l'autre la droite c passant par les pôles de la ligne qui unit les deux points choisis ; elles ont donc trois autres tangentes communes, dont l"une au moins est réelle: ce sont les polaires doubles P, P', F".

On pourrait d'ailleurs obtenir ces polaires doubles en déterminant d'abord les pôles doubles />», p' . p" , comme au problème précédent, puis prenant leurs polaires par rapport à l'une des coniques données - et -'.

Cela posé, il peut se présenter deux cas :

Si une seule P des polaires doubles est réelle, on déterminera les deux ombilics placés sur cette droite, et par ces ombilics on mènera à l'une des coniques données des tangentes, dont deux seulement seront réelles. Pour trouver ces ombilics, on prend deux droites arbitraires U et V, on cherche la droite U' qui joint les pôles de U et la droite V qui joint les pôles de V; les deux ombilics devront diviser hiirmoniquement chacun des deux segments interceptés sur P par U et U' et par V et V.

Si les trois polaires doubles P,P',P", sont réelles, chacune d'elles contiendra un couple d'ombilics; l'un au moins de ces couples sera réel, et on le déterminera comme ci-dessus ; puis, de ces points, on mènera à l'une des coniques données des tangentes qui seront toutes les quatre réelles ou toutes les quatre imaginaires.

H91. Mener une normale à une conique C par un point P donné dans son plan [fg. 602).

MT étant une tangente à la conique et OM le diamètre qui aboutit au point de contact M, abaissons du point P la perpendiculaire sur MT, et prenons le point Q où cette perpendiculaire rencontre U.M. Quand le point

Aôo

GÉOMÉllUE DANS L ESPACE.

M décrit la conique, la perpendiculaire qui tourne autour de P et le diamètre OM qui tourne autour du centre 0 de la conique décrivent deux faisceaux qui sont homograpliiques, puisque chacun d'eux est homographique du faisceau formé par la rotation du diamètre conjugué de OM. Le lieu du point Q est donc une conique H (dl31) qui passe par les points 0 et P, qui touche au point P le rayon homologue de OP, c'est-à-dire la

Fi g. 602. sT

perpendiculaire abaissée de P sur la tangente à la conique C au |)oint où OP rencontre cette conique, et qui touche au point 0 le rayon homologue de PO, c'est-à-dire le diamètre qui aboutit au point de contact de la tangente perpendiculaire à PO. Enfin, cette conique H est une hyperbole équilatère ayant ses asymptotes parallèles aux axes de la conique C; on voit en effet que, quand OM coïncide avec l'un des axes, le point Q passe à l'inlini sur cet axe. Cela posé, si M, est le pied d'une normale menée du point P sur la conique C, PM, est perpendiculaire à la tangente au point l^i, ; ce pied M, appartient donc au lieu 11. On aura donc les pieds des normales en cherchant les points communs à la conique proposée C et à l'hyperbole H, qui est bien déterminée, puisqu'on en connaît deux points, les tangentes en ces points et les directions des asymptotes. Le problème a quatre solutions qui peuvent se réduire à deux. En particulier, quand le point P est sur l'un des axes, l'hyperbole se décompose en deux droites rectangulaires dont l'une est cet axe même. Dans le ca? où la conique proposée C est une parabole, l'axe de cette parabole est une asymptote de l'hyperbole équilatère H, qui est ainsi bien déterminée, puisqu'on connaît en outre un de ses points P et la tangente en ce point ; les deux courbes C et H ont alors, en commun, outre un point à l'infini, trois points dont l'un au moins est réel ; d'où il suit que le problème a trois solutions ou une seule. Enfin, quand le point P est sur l'axe de la parabole C, l'hyperbole H se réduit à deux droites dont l'une est cet axe lui-même et l'autre, la perpendiculaire à cet axe située à une distance du point P égale au paramètre (104o).

L'emploi de cette hyperbole équilatère pour résoudre le problème des normales remonte à Apollonius. En transformant la solution précédente