B C0, + 0,B CB

Ca CaH-aB CB

OU

Ca = Ol B. C. Q. F. D.

On peut aisément déterminer les éléments fondamentaux de la para bole, c'est-à-dire le foyer F et la directrice A.

Le tracé que l'on donne habituellement pour déterminer le foyer F consiste à prendre l'intersection delà droite yF symétrique de yYi pac rapport à y A et de la droite pF symétrique de ppi par rapporta ^A; c'est une conséquence immédiate de l'égale inclinaison de la tangente à la parabole sur le rayon vecteur et la parallèle à l'axe. M. Maurice d'Ocagne a fait observer (Génie civil, tome IX, page 91) que ce tiac^ devenait illusoire lorsque l'angle fX^ formée par les tangentes données

464 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE,

csldroil, el il a proposé la solution suivante qui convient a tous les cas : Élevez en k et ^ des perpendiculaires sur A^, en A et y des perpendiculaires sur A^ ; le foyer F sera la projection du point A sur celle des diagonales du parallélogramme ainsi formé qui ne passe pas par A. Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de ce tracé, attendu ([u'il nous semble préférable, pour la détermination du foyer et do la directrice, de recourir au théorème suivant :

Si un triangle ABC a ses côtés tangents à une parabole, le cercle circonscrit passe par le foyer F et le point de concours H des hauteurs est sur la directrice A. En effet, la tangente au sommet do la parabole, contenant les projections du foyer F sur les tangentes, est la droite de Simson (169, ii") relativement au triangle ABC et au point F; ce point F appartient donc au cercle circonscrit au triangle ABC. La seconde partie de l'énoncé résulte de ce que la droite de Simson est équidistante des points F et H (i).

Si l'on applique successivement ce théorème au cas où la tangente variable BaC se confond avec l'une et l'autre des tangentes fixes données ABy, ACp, on voit que :

Le fojer F est le second point d'intersection de deux cercles dont

(') [,e théorème énoncé en icte de cet alinéa permet de trouver une solution élégante du problème déjà résolu au n" 1186 et qui a pour objet la construction d'une parabole dont on donne quatre tangentes A, B, G, D. En elFet, d'après le lliéorènie en question, l'intersection des deux cercles circonscrits aux deux triangles (A, B. G). ( B, C, D ), donnera le foyer F de la parabole. On aura ensuite la directrice en joignant les symétriques de F par ■ apport à deux des tangentes.

On pourrait d'ailleurs ramener la construction de la jiarabole dont A, B, G, D sont quatre tangentes données, à la construction de la parabole dont on a deux tangentes A et B et leurs points de contact, c'est-à-dire au pro- ))lcmo qui fait l'objet du n" 1192. Il sulfit de montrer comment on trouve le point de contact a de l'une quelconque A des quatre tangentes données. Voici deux manières de procéder :

1° Après avoir obtenu, comme nous l'avons dit ci-dessus, le foyer et la directrice, par le symétrique du loyer par rapport à A, on mènera la parallèle à l'arc; cette droite coupera A au point clierclié a.

2" Désignons par a, b, c les points d'intersection de A. et de B, de B et de C, de C et de D, et appelons d ex. e les points où D et E rencontrent la droite de l'infini qui est, comme on sait, tangente à la parabole, on appliquera le théorème de Brianclion à l'hexagone ayant pour so nmets les cinq points connus a, b, c, d, e el le point inconnu a. Le point w étant l'intersection de aa et de br (pii sont respectivement parallèles à D et A, la droite wc coupera A au point a.