VI. — PLANS PERPENDICULAIRES
THÉORÈME
557. Lorsque deux plans P et O sont perpendiculaires l'un à l'autre, toute droite AB, menée dans le premier plan P per-
LE PLAN
pendiculaJ rement à V intersection commune Cl), est perpendiculaire à r antre plan Q [fg- 3iO;.
En elTiH, les deux plans P ei Q éUini perpendiculaires l'un à l'autre, l'angle plan correspondant à l'arij^le dièdre PCDQ doit être droit ; or on forme cet angle plan ABE en élevant, dans le plan Q et par le point B, la perpendiculaire BE à CD ; donc la droite AB est perpendiculaire à BE, et, comme elle l'est aussi par hypothèse à CD, elle est perpendiculaire au plan Q.
Fig. 3 10.
Fig. 3ii
THÉORÈME
558. Si une droite AB est perpendiculaire à un plan O, tout plan P passant par cette droite ou parallèle à cette droite est perpendiculaire au plan O.
En effet :
1° Si le plan P passe par AB [fig. 3io), menons dans le plan Q et par le point B la perpendiculaire BE à l'intersection CD des deux plans P et Q. L'angle ABE sera droit, puisque la droite AB est, par hypothèse, perpendiculaire au plan Q; d'ailleurs, cet angle ABE est l'angle plan du dièdre PCDQ ; donc ce dièdre est droit, et le plan P est perpendiculaire au plan Q.
2" Si le plan P est parallèle à AB [Jig. 3i i), menons par un point quelconque E de ce plan la parallèle EF à AB ; cette droite EF sera à la fois perpendiculaire au plan Q et située dans le plan P. Donc le plan P, passant par une droite EF perpendiculaire au plan Q, sera perpendiculaire à ce plan (1°).
559. Réciproquement, si deux plans Q e/ P sont perpendiculaires entre eux, toute droite AB perpendiculaire au premier plan Q est située dans l'autre plan P ou lui est parallèle.
En effet, si la droite AB n'avait qu'un seul point cuimiiun
GÉOMÉTUIE DANS l'eSPACE.
avec le plan P, en menant de ce point une perpendiculaire su? l'inierseclion CD des plans P et Q [Jig. 3ii), cette perpendiculaire serait perpendiculaire au plan Q, et l'on pourrait mener d'un même point deux perpendiculaires au plan Q; ce qui est impossible. La droite AB, ne pouvant couper le plan 1', est donc parallèle à ce plan ou située dans ce plan.
Corollaire.
560. Par une droite AB oblique à un plan P [Jig. 3 12), on peut abaisser un plan perpendiculaire sur ce plan P, et l'on ne peut en abaisser qu'un.
En effet, le plan BAa, déterminé par la droite AB et par la perpendiculaire ka au plan P abaissée d'un point quelconque de AB, est perpendiculaire au plan P. C'est le seul, car tout plan conduit par AB perpendiculairement au plan P doit contenir la perpendiculaire A a.
Fi". 3i2.
THÉORÈME
561. Si deux plans P et Q sont perpendiculaires à uri troisième Vi, leur intersection AB est perpendiculaire à ce troisième plan [Jig. 3i3).
Car si, par un point quelconque de l'intersection AB, on mène la perpendiculaire au plan R, celte perpendiculaire doit se trouver à la fois dans le plan P et dans le plan Q (559) ; elle ne diffère donc pas de AB.
Corollaires.
582. Un plan perpendiculaire à deux plans qui se coupent est perpendiculaire à leur intersection.
563. Si les plans P elQ de la/g^. 3i3 formentun angle dièdre droit, les trois plans P, Q, K seront perpendiculaires entre
IIVKE V. — I.K PIAN.
ôl
ejx ; i'interserlion de deux quelconques de ces plans sera perpendiculaire au troisième, ei les trois intersections seront perpendiculaires entre elles.
^ VU. — ANGLES POLYÈDRES
DEFIXITIOXS.
56i. Considérons des demi-droites issues d'un même point S i/ig. 3i4), et assignons-leur un ordre déterminé SA, SB, se, SD, SE. La figure formée par les demi-droites et par les angles plans ASB, BSC, CSD, DSE, ESÂ, compris entre chaque demi-droite et la suivante, reçoit le nom d'angle polyèdre. Le point S est le sommet, les droites SA, SB, SC, . . ., sont les arêtes, et les angles ASB, BSC, CSD, ... sont les /aces de l'angle polyèdre.
(Jn désigne un angle polyèdre par la lettre du sommet suivie des lettres relatives aux diverses arêtes. Ainsi, pour indiquer l'angle polyèdre de la /îg. 3i4, oh dira l'angle SABCDE, ou plus simplement l'angle S; car, quand un angle polyèdre est isolé, la lettre du sommet suffit.
Fîff. 3 14.
11 faut au moins trois plans pour former un angle polyèdre. L'angle formé par trois plans prend le nom d'angle trièdre. Dans un angle trièdre BACS ' fig- 3i4)» on dislingue six éléments, savoir : les trois faces SBA, SBC, ABC, et les trois dièdres BA, BC, BS.
oGo. On dit qu'un angle polyèdre est convexe, lorsqu'il est situé tout entier d'un même côté par rapport au |)lan indéfiiii de chacune de ses laces {Jig- 3i4 j ; il est concave dans le cas contraire {fi g. 3i5).
GfiOMÉTRIi: DANS L ESPACE.
Considérons un angle polyèdre convexe SABCDE [Jig. 3i6)' ses arêtes seront, d'après la définition de la convexité, situées toutes d'un même côté du plan PQ d'une face quelconque ASB: dans \3i Jig. 3i6, nous les avons placées, pour fixer les
Fig. 3.6.
idées, au-dessus de ce plan. Par le point S, dans le plan PO, menons une droite MN située en dehors de l'angle ASB, et concevons une série de plans menés par la droite MN et contenant successivement chacune des arêtes SC, SD, SE. Si DSM ou RMN est celui de tous ces plans qui fait le plus petit angle avec la portion PMN du plan PQ, l'angle polyèdre proposé SABCDE sera situé tout entier dans l'angle dièdre RMNQ formé par la partie antérieure Q et la partie supérieure R des deux plans PQ, RT. Donc, tout plan GH mené par MN et situé dans l'angle dièdre PMNR et dans son opposé par l'arête QMNÏ sera un plan mené par le sommet S et laissant toutes les arêtes d'un même côté. Par suite, tout plan parallèle au plan GH et situé, comme l'angle polyèdre SABCDE, à droite de GH, coupera toutes les arêtes de cet angle sans passer par le sommet. Le section sera donc un polygone ABCDE ayant autant de côtés que l'angle polyèdre a de faces, et ce polygone sera convexe; car, l'angle polyèdre étant tout entier d'un même côté, par rapport au plan de chacune de ses faces, le polygone se trouvera, par là même, situé tout entier d'un même côté par rapport à chacune des droites indéfinies qui unissent deux sommets consécutifs quelconques.
