LIVRE V. — LE PLAN

566. Si l'on prolonge au delà du sommet S toutes les arêtes d'un angle polvèdre SABCDE [Jig. 317), on obtient un autre angle polyèdre SA'B'C'JJ'E qui est dit le symétrique du premier.

Deux angles polyèdres symétriques SABCDE, SA'B'C'D'E' ont tous leurs élémenis respectivement égau\ : les faces ASB et A'SB', BSC et B'SC, ... sont égales deux à deux comme angles plans opposés par le sommet, et les angles dièdres SA et SA', SB et SB', . . . sont égaux comme opposés par l'arête. Mais la disposition des parties égales n'est pas la même dans les deux angles polyèdres. En effet, un observateur couché sur l'arête SA, ayant la tête en S, les pieds en A, et regardant l'intérieur de l'angle SABCDE, verrait les arêtes se présenter de

Fig. 3i8.

droite à gauche dans l'ordre SB, SC, SD, SE; tandis qu'un observateur placé de la même manière dans l'autre angle SA'B'C'D'E', c'est-à-dire couché sur SA', ayant la lêie en S, les pieds en A' et regardant l'intérieur de l'angle, verrait les arêtes se succéder de droite à gauche dans l'ordre inverse SE', SD', se, SB'.

A cause de cette différence de disposition, deux unifies polyèdres symétriques, bien qu'égaux dans toutes leurs purties, ne sont pas superposables.

En effet, considérons, par exemple, deux irièdres symétriques SABC eiSA'B'C [fig. 3i8 , et supposons, pour (ixcr les idées, que l'arête SC soit en avant du plan ASB, et, par suiie, que son prolongement SC soit en arrière du mémc^ |il:m. Il y a

R. et DE C. — Tr. de Gi-om. (Il' PartieJ. ^

34 GÉOMÉTRIE DANS L'ESrJtCE.

deux manières différentes d'essayer la superposition des deux trièdres.

1° Concevons [fig. 3i8) la perpendiculaire élevée par le point S sur le plan ASB, et faisons tourner le trièdre SA'B' C de i8o degrés autour de cette droite dans le sens delà flèche/; l'arête SA', qui dans ce mouvement ne sort pas du plan ASB, viendra sur SA; de même SB' s'appliquera sur SB; mais l'arête se restera toujours en arrière du plan ASB; par suite, dans sa nouvelle position, le trièdre SA'B'C ne coïncidera pas avec SABC.

2° Menons [fig. 319) la bissectrice xSjde l'angle BSA', et, autour de celte droite, qui est située dans le plan ASB, faisons

tourner le trièdre SA'B'C de 180 degrés dans le sens de la flèche 9. L'arête SA' s'appliquera sur SB, l'arête SB' sur SA, et, par suite, lafac^A'SB' coïncidera avec BSA ; de plus, l'arête SC viendra cette fois en avant du plan ASB. Mais la nouvelle position SC, de cette arête différera en général de SC ; car, les angles dièdres suivant les arêtes SA et SB étant en général inégaux, il en sera de même des angles dièdres SB et SA', et, par suite, les plans CSB et Ci SB, étant inégalement inclinés sur le plan ASB, ne coïncideront pas.

On voit cependant que la coïncidence aurait lieu si le trièdre SABC avait les deux angles dièdres SA et SB égaux entre eux. Car, dans cette hypothèse, les plans d S B et CSB seraient également inclinés sur le plan ASB; ils tomberaient donc l'un sur l'autre; il en serait de même des plans C,SA et CSA, et,