LIVRE V. — I.K l'LA.N

par suite, les arêtes SC et SC.se confondraient. Observons d'ailleurs que la face C SA', qui est égale à ASC, s'applique alors sur CSB, de sorte que l'égalité des deux angles dièdres SA et SB entraîne celles des faces CSB et CSA. Donc, en résumé, /;owr qu'un irièdre soit superposable à son symétrique, il faut et il suffit que ce trièdre ait deux angles dièdres égaux ; et, dans un tel trièdre, les faces opposées aux dièdres égaux sont égales.

THÉORÈME

5G7. Dans tout angle polyèdre, une face quelconque est moindre que la somme de toutes les autres.

Il n'y a lieu à démontrer cette proposition que lorsque la face considérée est plus grande que chacune des autres.

Cela posé, considérons d'abord un angle trièdre SABC [Jig. 320). Dans la face ASB, que nous supposons plus grande que chacune des deux autres, formons un angle ASD égal à ASC, et prenons, à partir de S, sur les droites SI) et SC, des longueurs SC et SD égales entre elles. Par le point D, menons une droite ABI) qui rencontre les arêtes SA et SB en A et en B ;

enfm, joignons le point C aux points A ol B. L'égalité dos doux triangles ASD, ASC, qui ont un angle égal compris entre deux côtés égaux, donne AD = AC; et comme on a

AB ou AD + DB<AC-l-CB,

on voit que le segment BD est moindre que CB. Dès lors, les deux triangles CSB, DSB, avant SB commun, SC = SD, et DB<BC, il faut [k\.] que l'ongle DSB soit moindre que CSB. Donc, en ajoutant d'une part l'angle ASD et de l'autre son égal ASC, on a

ASD H- DSB ou ASB < ASC -+- CSB.

36 GÉOMÉTRIE DANS l/ESPACE.

Pour étendre le théorème au cas d'un angle polyèdre quelconque, il suffit de décomposer cet angle en irièdres en menant par l'une des arêtes SA et par les arêtes opposées SC.SD, des plans diagonaux ASC, ASD [Jîg. Sin); la démonstration est évidente.

Corollaire.

568. Dans toiil angle (rièdre, à un plus grand angle dièdre est opposée une plus grande face.

Soit [Jig. 32 1 ) le trièdre SABC dans lequel l'angle dièdre SC est plus grand que l'angle dièdre SB. On pourra mener dans le dièdre SC et par l'arête SC un pian CSD qui fasse, avec le plan CSB, un angle dièdre égal au dièdre SB. Le trièdre SBCD ayant deux dièdres égaux, les faces BSD, CSD, opposées à ces angles, seront égales (566). Or le trièdre SACD donne

ASC < ASD + DSC;

on aura donc, en remplaçant la face DSC par son égale DSB,

ASC < ASD + DSB ou ASC < ASB.

En rapprochant ce théorème de celui qui a été démontre au dernier alinéa du n° 366, et en raisonnant comme au n° 35, on verra que : réciproquement, si un angle trièdre a deux faces égales, les dièdres opposés à ces faces sont égaux, et si un angle trièdre a deux faces inégales, à la plus grande face est opposé le plus grand dièdre.

SCOLIE

569. Si, par le soni/iiet S (/'ii/i angle trièdre SABC, on mène une droite S0« volonté dans ^intérieur de ce trièdre, la somme des a/ig/esOSB, OSG est moindre que la somme des faces ASB, ASC.

Si les deux faces d'un an^le trièdre sont respecti\'ement égales à deux laces d'un autre angle trièdre, et si l'angle dièdre compris entre les ]>re~ mières est plus grand que l 'angle dièdre compris entre les deux autres, la troisième face du premier trièdre est plus grande que la troisième face du second.

Cette dernière proposition est l'analogue de celle du n° 40. Elle se démontre de la même manière. Il est inutile de faire de nouvelles figures; il suffit de regarder la fig. 34 comme la section