LIVRE V. — LE PLAN
plane des trièdresque l'on considère, les sommets de ces trièdres étant supposés en avant, par exemple, du plan des sections.
THÉORÈME
570. Dans tout angle polyèdre convexe, la somme des faces est moindre que quatre angles droits ' fig- 3?..>. .
En elîel, soit ABCDE un polygone convexe obtenu en coupant l'angle polyèdre par un plan qui rencontre toutes les arêtes (060). En ajoutant les inégalités
EAB < EAS -f- BAS, ABC<ABS4-CBS, BCD < BCS -+- DSC,
que fournissent les trièdres A, B, C, . . . 367], on voit que la somme des angles intérieurs du polygone ABCDE est moindre que la somme des angles à la base des triangles SAB, SBC, SCD,..., qui ont S pour sommet. Or, la somme des angles tant intérieurs qu'extérieurs du polygone convexe AliCDE est égale à la somme de tous les angles des triangles dont S est le sommet commun. Donc, la somme des angles en S de ces triangles, c'est-à-dire la somme des faces de l'angle polyèdre, est moindre que la somme des angles extérieurs du polygone, c'est-à-dire moindre que quatre angles droits.
SctJLIE.
.^)7J. Il résulte des doux théorèmes précédents (îj(J7. 570) que, pour qu'on puisse former un anj^le Iriedre avec trois race> données, il faut (pie la plus grande face soit inférieure à la somme des deux autres, et que la somme des trois faces soit moindre que quatre angles droits. Nous allons prouver que ces deux conditions sont suffisantes.
GÉOBIÉTRIE DANS l'eSPÀCE.
Soient (fîg.'i-i.'i) ASB la plus grande face, et ASC, BSC, les deux autres faces rabattues dans le plan de la première, de part et d'autre de celle-ci;
se et se sont les deux droites provenant du dédoublement delà troisième arête.
Décrivons du point S comme centre un arc de cercle CC de rayon arbitraire ; cet arc sera moindre qu'une circonférence, puisque la somme des trois faces données est inférieure à quatre angles droits. Ce et CV'' étant les cordes menées des points C et C perpendiculairement aux arêtes SA et SB, les arcs AC et Ar sont égaux entre eux, ainsi que les arcs BC et Br'; et comme chacun de ces arcs est moindre que AB. les points c et c' tombent entre A et B. De plus, l'inégalité
ou
arc AB < arc AC -+- arc BC arc AB < arc Xc -t- arc Bc',
(jui exprime (jue la plus grande face ASB est inférieure à la somme des deux autres, montre que le point c tombe entre B et c' . 11 suit de là que les points C et c sont de part et d'autre de la corde C'/-:'; cette corde coupe donc la corde Ce en un point 0 situé à l'intérieur du cercle.
Élevons au point 0 la perpendiculaire OM au plan ASB et, dans le plan DOM, décrivons du point D comme centre, avec un rayon égal à DC. im arc de cercle qui coupera nécessairement la perpendiculaire OM, puisque OD est moindre que DC. M étant le point d'intersection, menons SM : le trièdre SABM sera formé avec les trois faces données. En effet, si l'on tire MD et ME, ces droites seront respectivement perpendiculairessur SA et sur SB, en vertu du théorème des trois perpendiculaires ; dès lors les deux triangles SDM, SDC sont égaux comme ayant un angle droit compris entre deux côtés égaux chacun à chacun : on en conclut dabord que la face ASM est égale à la face donnée ASC, et que l'arête SM est égale à se. Los deux triangles rectangles S.ME, SC'E ont donc l'hypoténuse égale et un côté commun, et leur égalité prouve que la face MSB est égale à l'autre lace donnée BSC.
