LIVRE V. — LE PLAN

THÉORÈME

572 . Si un angle Irièdre S A' 1} ' C'est le Irièdre supplémen taire d'an angle tiièdre donné SAHC, réciproquement 8ABC sera le irièdre supplémentaire de S A' B' C.

Pour bien comprendre la défiiiiiion du Irièdre supplémenlairc et l'objet du présent théorème, il convient de faire une remarque. Par un point 0 d'un plan P, menons une perpendiculaire OM à ce plan et une oblique ON. Si les deux droites OM et ON sont d'an même côté du plan P, l'angle MON qu'elles forment est aigu [fig. 3^4 > car il est compris dans l'un des angles droits MOT ou MOT' (|ue fait la perpendiculaire OM avec la trace TOT' du plan MON sur le plan P. Si les deuv droites OM et ON sonl situées de pari et d'autre du plan P,

Fig. .325.

l'angle MON est ohius [f'g. 325 , car il contient l'un des angles MOT ou MOT'. Donc, réciproquement, suivant que l'angle MON est aigu ou obius, on peutafllrmer que la perpendiculaire OM et l'oblique ON sont d'un même côté du plan P ou de part et d'aulre de ce plan.

Cfila posé, on nomme trièdre suppléiTieniaire d'un irièdre SABG [Jig. 326) un nouveau trièdre SA'B'C formé delà manière suivante :

Par le sommet S, on élève une perpendiculaire SC à la face ASB, du même côté que SC par rapport au plan de celle face; on mène SB' perpendiculaire à la face ASC, du même côté que SB par rapport au plan ASC, et l'on trace enfin SA' perpei\diculaire à la face BSC, du même côté que SA par rappoil au plan BSC.

Il s'agit maintenant de démomrer (jue le trièdre SAB(] rc-

GÉOMÉTRIE PANS l'eSPACR.

suite du trièdre SA'B'C, comme celui-ci du premier; ou, en d'autres termes, que l'arête SC, par exemple, est perpendiculaire à la face A'SB' et du même côté que SC par rapport au plan de celle face. Or, par hypothèse, SA' est perpendiculaire au plan CBS et par suite à SC; de même, SB' est perpendiculaire à SC; donc SC est perpendiculaire au plan A'SB'. De plus, se ayant été menée perpendiculairement au plan ASB et du côté de SC, l'angle CSC est aigu; par suite, la perpendiculaire SC ou plan A'SB' et l'oblique SC formant un angle aigu, ces deux droites sont situées d'un même côté par rapport à ce plan A'SB'.

THÉORÈME

573. Si SABC e/ SA'B'C sont deux trièdres supplémentaires, chaque angle dièdre de l'un de ces trièdres est le supplément de la face opposée duns l'autre [fig. 327).

La démonstration est fondée sur la remarque suivante : Lorsque, par un point 0 pris sur l'arête d'un angle dièdre 01, on élève sur la face lOA une perpendiculaire OA' du même côté du plan lOA que la face lOB, e^ sur la face lOB une perpendiculaire OB' du même côté du plan lOB que la face lOA, l'angle A'OB' est le supplément de l'angle plan kOB qui mesure le dièdre {fi g- 3 28, 3 29).

Fig. 329.

Les quatre droites OA, OB, OA', OB', sont dans le plan perpendiculaire à 01 mené par 0; d'ailleurs, OA' perpendiculaire au plan lOA doit être perpendiculaire à OA, et de même OB' doit être perpendiculaire sur OB; les angles AOB, A'OB' sont donc deux angles situés dans un même plan et ayant leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun; pour prouver qu'ils