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Or, il suffit de multiplier ces deux derniers déterminants par la règle connue et d'égaler le résultat à zéro pour avoir la relation chercliée

Un calcul tout à fait analogue donne

pour cinq points situés sur une même sphère.

La relation (5) revient au fond au théorème de Ptolémée (240); la relation (6) a été donnée sous une autre forme par Feuerbach. — Nous avons suivi la marche indiquée par M. Cayley dans le lome II du Journal de Cambridge.

En développant par rapport aux éléments de la première verticale le premier des déterminants considérés dans ce numéro, et désignant par Oj l'origine des coordonnées, qui est d'ailleurs un point quelconque du plan du quadrilatère A, A^A3A^, on a, eu égard à la formule (2), la relation

0,A, (A,A3AJ-0,A, (A3 A, A,) -^U, A3 (A,A, A,)-0, A, (A,A,A3) = o

qu'on énonce de la manière suivante : Dans tout quadrilatère inscriptible, si on multiplie l'aire du triangle forme' par trois des sommets par le carré de la distance du quatrième sommet h un point quelconque du plan, la somme des produits relatifs aux deux triangles séparés par une diagonale est égale à la somme des produits relatifs aux deux triangles séparés par Vautre diagonale. Cette proposition, due à M. Luchterhandt [Journal de Crelle, t. XXIII), comprend comme cas particuliers les théorèmes (240, 242) relatifs au produit et au rapport des diagonales du quadrilatère inscriptible. Pour les en déduire, il suffit de remplacer l'aire de chaque triangle par le produit des trois côtés divisé par quatre fois le rayon du cercle circonscrit et de placer le point 0,, dans le premier cas à l'un des sommets du quadrilatère, dans le second cas au centre du cercle.

En éliminant les parenthèses (A, A, A J, . . . entre l'équation précédente et les trois analogues que fourniraient trois autres points 03,03,0^ pris