IX. — 1Y
oour obtenir la relation demaïKJée, due à Lagrange,
En remplaçant, avant de les multiplier, dans chacun des deux déterminants, l'expression x] -^-y] n-sf, où / a les valeurs i, 2, 3, 4, 5, par
Xi ■+-/(' -+- z1 — rt^ on obtient la relation
NOTK I.
dons laquelle o^ désigne la quantité a," -hn —(fa, et qui est une généralisation de Ja formule précédente, puisqu'elle renferme, outre les dislances mutuelles c/.j. des cinq points, cinq nouvelles quantités /-,, r^, 7-3, z-^, r^, arbitraires.
5. Rayons des sphères rjui coupent quatre sphères données sous des ongles donnés.
Supposons que, des cinq points A,, A,, A3, A,, Aj, que nous venons de considérer, les quatre premiers soient les centres de quatre sphères dont les rayons/-,, r,, r^, r^, sont donnés; désignons par 0 le rayon et par A. le centre d'une sphère qui coupe les quatre premières respectivement sous les angles o,, o^, ©3, o^.
En faisant, dans la relation (8), les substitutions
— n -(- p- — [rf -h p^ — aor-coso,) = ap/", COS'J, (/=i,2,3,4),
puis amenant au premier rang la dernière horizontale et la dernière verticale, préalablement divisées par p, et enfin divisant par 2 chaque horizontale, sauf la seconde, et multipliant par 1 la seconde verticale, on obtient, pour déterminer p, l'équation du second degré
r^cos»3 ^COS«p<
/•| COSy,
COSo
/•, COSïi,
TjCOSaj
r^cosoj
r, cos?.
OÙ Cik désigne la quantité - (^,- -1- ri — r/,;) pour / = i , 2, 3, 4.
Celte équation ne change pas quand on y change simultanément les signes de r^,r^,r^,r^. D'après cela, à chaque combinaison de signes pour r,, Tj, 7-3, r^, et à la combinaison opposée, répondent les deux racines de la même équation du second degré. En faisant varier les signes de r,, /-,, /\, r^, on trouve les seize solutions du problème.
En procédant d'une manière analogue, on obtiendrait une équation donnant les rayons des cercles coupant trois cercles situés dans un même plan, sous des angles respectivement donnés. Celte équation est d'ailleurs celle qu'on obtient en supprimant dans le déterminant (9) la dernière horizontale et la dernière verticale; en faisant varier les signes, on aurait les huit solutions du problème groupées deux à deux.
AI'I'LICATION Ui;S DÉTERMINAMS. SjS
L'équation (9), dans laquelle on remplace les cosinus par l'unité, donne les rayons (les sphères tangentes à (judlrc sphères données, et celle qui en résulterait en supprimant la dernière horizontale et la dernière verticale donnerait pareillement les rayons des cercles tangents à trois cercles donnés.
Enlin, comme dernière application de cette relation (9), nous allons en déduire le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre- Il faut, dans ce cas, supposer r, = r^ = r^ ~ r^^ o,etpar suite <-,* = — -.V,/; l'équation
deviciit
d'où l'on déduit, en ajoutant à la deuxième horizontale la première mul tipliée par - et ayant égard à la relation (6), 0 f/,j r/,3 d^,
(^10) S-GV-'p-^ —
<hA.
</ln
d,jl,,
En comparant le dernier déterminant au déterminant ( 2) et désignant par T l'aire du triangle dont les côtés seraient égaux aux produits des couples d'arêtes opposées du tétraèdre, on voit qu'on a définitivement pour le rayon de la sphère circonscrite.
Celte expression remarquable est due à Crelle (Sammlung nwthcmatisrhei Aufsàtze ),
Ces notions doivent sufBre pour inspirer au lecteur le désir de lire les Mémoires originaux sur l'application des déterminants à la Géoniélrio. Los travaux faits sur ce sujet sont fort nombreux: nous citerons les Mémoires de MM.Joachimsthal(yw//7/r// de Crelle, t. XL), Cayley [Journal de Cand)ndge, t. II), Brioschi [Journal de Crelle, l. L), Kronecker [Journal de Crelle, t. LXXll), Darboux [Annales de V École Normale, 2* série, t. 1), Bauer [Journal de Srhlumilch, t. V, et Mémoires de V Académie de Munich pour 1873), Frijbenius [Journal de Crelle^ t. LXXiX).
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