SUR LA GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE

La théorie des parallèles n'a fait aucun progrès depuis Euclide jusqu'au conunencement de notre siècle. Tous les efforts pour démontrer lapostnlatum d'Eudide ou une proposition équivalente étaient restés infructueux, lorsque Lobattclieffsky en 1829 et Bolyai en i83a, cliangeant résolument de voie, conçurent et exécutèrent séparément le projet hardi de supposer que la proposition à démontrer n'était pas vraie et de constituer un nouveau système de géométrie non contradictoire, en poussant jusqu'à ses dernières limites le développement de leur hypothèse. Gauss qui, par ses propres méditations, avait obtenu les mêmes résultats dès 1792, sans toutefois avoir rien publié sur ce sujet, assura par son patronage le succès de l'œuvre de Lobattclieffsky qui, écrivait-il à Schumacher, « avait traité la matière de main de maître ». Depuis lors un grand nombre de géomètres, parmi lesquels il faut surtout citer Riemann et Bcltrami, ont considérablement agrandi le champ de ces spéculations qui, on ne saurait le méconnaître, ont jeté une vive lumière sur la véritable origine des vérités géométriques.

L'analyse de ces nombreux travaux (•) serait fort longue; nous nous proposons ici uniquement d'en faciliter la lecture en exposant les principes fondamentaux de cette partie de la Science qui. après avoir été appelée successivement Géométrie astrale, Géométrie imaginaire, Pangéométrie, a reçu (loriniti\ement le nom de Géométrie non euclidienne.

(') LoBATTCHEFFSKV, Nouveaux principes de Géométrie {Mémoires de l'Université de Kasan et Courrier de Kasan, 1826, 1839, i836-i838); Géométrie imaginaire (J. de Crelle, 1887); Etudes géométriques sur la théorie des parallèle^ (Berlin, iSjo); Pangéométrie (Kasan, i855). — Bolyac. Appendix scientia». spatii absolute veram exhibens ( Maros-V^asazhély, iSSa). — Kiemvnn, Sur la hypothèses de la Géométrie ( Académif^ de Gôtlingue, 18G7). — Helmuoltz, Sur les faits fondamentaux de la Géométrie (Heidclberu, 1868). — Battai;lim, Sur la Géométrie de Lobaitctipffsky (Girirnalc ; 'Sap]e&, 1868). — Beltrami, Interprétation de la Géométrie non euclidienne (Naples, 1868): Sur les espaces de courbure constante (Milan, 1868). — Klein, Sur la Géométrie non euclidienne (Math. Annalen, 1871). — De Tili.v, Essai sur les principes fondamentaux de la Géométrie et de la Mécanique {Mémoires de l' Académie de Bordeaux, 1879 j.

Plusieurs de ces Mémoires ont éli* traduits en français par M. Hoiiël.

1° Considérons dans un plan un point p et une droite LL'; soient /jo la perpendiculaire abaissée de p sur LL' et EpE' la perpendiculaire élevée par/j sur/jo {/^g. 625). On sait (57) que cette perpendiculaire ne rencontre pas LL'. Mais cette droite est-elle, parmi celles qui passent par p, la seule qui jouisse de cette propriété? C'est ce que l'on admettait depuis Euclide. Cependant tout ce qu'on peut affirmer, et c'est là le point de départ de Lobattcheffsky, c'est que, si une droite illimitée tourne autour du point p dans le sens de la flèche, depuis la position po jusqu'à la position E'pE, elle passera nécessairement par une position cpu, telle que toutes les droites contenant le point p et situées dans l'angle iipE (et dans son opposé) ne coupent pas LL', tandis que toutes les droites situées dans l'angle opu (et dans son opposé) coupent oL.

Fig. 625.

D'après cela, en désignant par v pu' la symétrique de ^'pa par rapport à po^ on voit que toutes les droites menées par le point ]) dans le plan peuvent être rangées par rapport à LL' en deux catégories suivant qu'elles coupent LL' ou qu'elles ne la rencontrent pas; les sécantes sont comprises dans les angles upii! et \pv' ; les non-sécantes dans les angles upv et i'/^k'. Les deux lignes de démarcation uv et «'c' sont dites parallèles à LL' relativement au point /a Ainsi, par chaque point/» d'un plan, on peut mener à toute droite LL' de ce plan deux parallèles, l'une vu pour le côté oL de la droite, l'autre \>' u pour l'autre côté oL. On désigne par angle de parallélisme relatif au point p l'angle opu ou son égal opu' .

2° Ce qui distingue une parallèle vu ou v'u' d'une non-sécante quelconque, c'est que la parallèle devient sécante dès qu'on la dévie en diminuant d'aussi peu qu'on veut son inclinaison opu ou opu' sur la perpendiculaire po.

Dans le cas où l'angle de parallélisme est droit, la classe des droites non-sécantes disparaît et les deux parallèles se réduisent à une seule E/;E'.

3° Voici maintenant deux |)ropositions qui sont les compléments indispensables de la définition des parallèles.

GÉOMÉTRIE NON ELCLl Dli-N.NK.

Une droite conserve le caractère du parollélisme en tous ses pi nui s. — En d'autres termes, si H'H est parallèle à D'D relativement au i)oint A, elle est encore parallèle à D'D relativement à tout autre Ai ou A-, (Je ses points (//§•. 6:26).

En effet, supposons d'abord un point Ai situé sur la partie AH de H'H qui fait avec la perpendiculaire AC un angle CAH égal à l'angle de parallélisme. Abaissons Ai Ci perpendiculaire sur DD', menons Ai F dans l'intérieur de l'angle CiAiH, et prenons sur cette droite un point F aussi voisin qu'on pourra de Ai; la droite AF ira couper CD en un certain point G, et l'on aura un triangle ACG dont le contour étant rencontré

Fig. 626.

une proniière fois en F par la droite Ai F devra être rencontré une deuxième fois par la même droite; or Ai F, d'après sa construction, ne peut couper le côté AC, elle ne peut pas non plus avoir un second point commun avec le côté AG; donc elle coupe le côté CG, et, par suite. Ai H est parallèle à D'D relativement au point Ai, puisque toute droite Ai F, située dans l'angle Ci Ai H, rencontre D'D, si petit que soit l'angle H Al F.

Considérons, en second lieu, un point Ao situé sur AH', et soit AoCo la perpendiculaire abaissée de A2 sur D'D; prenons sur AC un point F' aussi voisin de A qu'on voudra, et menons AF faisant avec AH un angle HAF égal à HAoF'; la droite AF ira couper CD en un certain point G, et la droite AoF' coupant une première fois, en F', le contour du triangle ACG, devra couper ce contour une seconde fois. Or elle ne peut couper une seconde fois le côté AC; d'autre part, puisfuie les angles correspondants HAF, HA2F' sont égaux, A2F' ne peut rencontrer AF ('); donc A2F' coupe le côté CD; etc.

(') Nous admettons ici que, si deii\ di-oites AB, CD ( /?^. 43), lornient ;ivcc une troisième FE des angles correspondants FGB, FHD, égaux, ces deux droites ne peuvent se rencontrer. La démonstration de ce ttiéorème, donnée au n» G4, dépend du postulatum d'Eudide; maison peut démontrer le fait indépendamment de tout postulatum. En effet, on peut, par une rotation autour du milieu O de GH, amener la ligure BGHl) sur la ligure CHGA, de façon que GB R. et DB C. — Tr. de Geom. (If Partie). 3;

Le parnUélisnie de deux droites est réciproque, — En d'autres termes, si AB est parallèle à CD [fig. 'ôii). CD est parallèle à AB.

En effet, soit AC une perpendiculaire sur CD; menons dans l'angle ACD une droite CE faisant avec CD un angle DCE aussi petit qu'on vou- .dra; enfin abaissons AF perpendiculaire sur CE; AF sera moindre que AC ; prenons sur AC une longueur AG = AF et faisons tourner la figure BAFE autour de A, de façon que AF vienne sur AG ; soient GH et AK les positions que prennent FE et AB ; AK coupera CD quelque part en K, etTon aura un triangle ACK dont le contour étant rencontré une première fois, en G, par GH. devra être rencontré une deuxième fois par cette même droite; mais GH étant comme CD perpendiculaire à AC ne peut rencontrer CD: donc GH coupe AK en un certain point L. Donc, en ramenant le triangle LAG en sa position primitive, c'est-à-dire en le faisant tourner autour de A de façon que AG vienne sur AF. AK sur AB et GH sur

Fig. 627.

FE, on voit que GF doit couper AB, quelque petit que soit l'angle DCE; donc (-2°) CD est parallèle à AB.

1" Dans tout triangle recliligiie ABC,/« soninic des angles ne peut surpasser deux angles droits.

En effet, soit A le plus petit angle du triangle; en prolongeant la médiane AI d'une quantité lE égale à elle-même et joignant EC, on forme un triangle ACE dans lequel (on le voit sans peine) la somme des angles est la même que dans le triangle primitif et la somme des deux plus petits angles est égale à A. Le plus petit angle du nouveau triangle est donc au plus égal à | A. En opérant de même sur ce second triangle, puis sur le suivant, etc. , on obtient une suite de triangles, dont la somme des angles reste la même et dont le plus petit angle est successivement

moindre que —■, j- —■> • • • et, par suite, peut devenir aussi petit quon

recouvre HC et que DH recouvre GA; si donc GB et HD se rencontraienl, HC <■; GA se rencontreraient aussi, et les deux droites AB, CD auraient deux points conimuns sans coïncider.

GÉOMÉTRIE NON FXCLIDlENiNE.

veut. Or, si la somme des angles du triangle primitif surpassait deux droits d'une certaine quantité a, en opérant sur ce triai%Ie, comme nous venons de le dire, on obtiendrait, après un nombre suffisant d'opérations, un triangle ayant son plus petit angle inférieur à a ; le triangle suivant aurait à la fois la somme de ses trois angles égale à 2R + a, R désignant un angle droit, et la somme des deux plus petits angles moindre que a; le troisième angle de ce triangle surpasserait donc -iR. ce qui est absurde.

2° Si dans un trlnnole rectillgne ABC la somme des angles est e'gfde à deux angles droits, il en est de même pour tout autre triangle [fg. 628).

En effet, deux au moins des angles du triangle ABC sont alors aigus; soient, par exemple, A et C, ces deux angles; la perpendiculaire BO abaissée du sommet B sur AC partage le triangle ABC en deux triangles rectangles ABO, CBO dans chacun desquels la somme des angles est égale à 2R. sans quoi la somme totale des angles de ces deux triangles serait

lig. 628.

(1°) inférieure à 4R et, par suite, en retranchant les deux angles en 0, qui sont droits, la somme des angles du triangle proposé ABC serait inférieure à 2 R. Il suit de là que, si l'on construit sur AB un triangle BAI, égal à ABO, on aura un quadrilatèreAOBI, dont les côtés 0[)posés sont égaux deux à deux et dont les angles sont droits. En superposant <y quadrilatères égaux à celui-là et juxtaposant /.> figures égales à la figure AOQS, ainsi obtenue, on obtient un quadrilatère POQR, dont tous les angles sont droits et dont les côtés opposés, égaux deux à deux, peuvent devenir aussi grands qu'on veut, en prenant les nombres p et </ assez grands. Ce quadrilatère sera partagé par la diagonale PQ en deux triangles rcctangk'S égaux et l'on verra, comme ci-dessus, que la somme des angles de chacun de ces triangles est égale à 2R. Donc on peut construire un triangle rectangle POQ, dans lequel la somme des angles est égale à 2R et assez grand pour contenir dans son intérieur tout triangle rectangle donné DOE, lorsqu'on aura fait coïncider les angles droits do ces 'riangles. Or la droite QD décompose POQ en deux triangles QDP, QOO, dans chacun des(]uels la somme des angles est égale à 2R, sans quoi la somme des angles du triangle total POQ serait moindre que 2R ; de môme, la droile DE partage QDO en deux triangles DEO, OEQ, dans chacun desquels la

somme des angles est égale à aR. sans quoi la somme des angles du triangle total QDO serait inférieure à 2R. Il est donc démontré que. par suite de l'hypothèse, la somme des angles serait égale à 2K dans un triangle rec-r .tangie quelconque DOE ; il en serait de même, par suite, pour tout triangle rectiligne, puisqu'un tel triangle peut toujours être décomposé en deux triangles rectangles.

3° Par un point donné A, extérieur à une droite BC. on peut toujours mener une droite faisant avec la première un an^Ie aussi petit qu on veut

[fig- 629).

En effet, soit AB perpendiculaire sur BC, D un point pris à volonté sur BC, et DE une longueur égale à AD et portée sur BC à la suite de BD. La somme des angles du triangle ADE ne pouvant surpasser i\\. on a, puisque ce triangle est isocèle,

2 AEB ^ ( 2 R - ADB ) < 2 R, d'où AEB < \ ADB.

Ainsi, étant donnée une droite AD, coupant BC sous un certain angle, on peut toujours en trouver une autre AE, faisant avec BC un angle au plus égal à la moitié du précédent; en opérant sur cette nouvelle droite comme sur la première et continuant ainsi, on parviendra à une droite faisant avec BC un angle aussi petit qu'on voudra.

4° Si deux perpendiculaires AH. BC à une même droite AB sont parallèles, la somme des angles est égale à deux angles droits dans tout triangle rtctiUgne {/'g. 629).

Fig. 639.

En effet, menons dans l'angle BAH une droite AE, faisant avec AH un angle HAE aussi petit qu'on voudra; cette droite AE coupera BC, et l'on peut supposer, d'après le numéro précédent, que l'angle AEB, sous lequel AE coupe BC, soit aussi petit qu'on veut. Cela posé, D étant pris à volonté entre B et E, menons AD et désignons respectivement par 2R — a, 2R — p les sommes des angles dans les triangles ABD, ADE. La somme des angles du triangle ABE sera 2R — a — S; on aura donc

2R y. ^ = R -t- AEB -+- I R - HAE), d'où

o'.-hp = HAE — AEB ;

mais, chacune des parties du second membre pouvant devenir moindre

GÉOMÉTRIE NOÎJ EUCLIDIENNE. 58 1

que toute quantité donncc, on a a + ^ = o, et, par suite, a = o, P = o, puisque a et 3 ne peuvent être négatifs. c, q. f. d.

5" Il résulte des propositions précédentes que deux hypothèses sont seules possibles :

Ou bien, dans tous les triangles rectilignes, la somme des angles est égale à deux angles droits; alors l'angle de parallélisme est toujours droit, et par un point quelconque on ne peut mener qu'une parallèle à une droite.

Ou bien, dans tous les triangles rectilignes, la somme des angles est inférieure à deux angles droits; alors, par un point quelconque, on peut mener deux parallèles à une droite, et l'angle de parallélisme, toujours aigu, varie avec la distance du point à la droite.

La première hypothèse sert de fondement à la Géométrie ordinaire ou euclidienne. La seconde peut être également admise sans conduire à aucune contradiction; elle est la base de la Géométrie non euclidienne que LobatchefTsky a établie, jusqu'au développement complet des équations entre les côtés et les angles d'un triangle, soit rectiligne, soit sphérique (•).

Toutefois il y a encore lieu de se demander si, en poussant plus loin les déductions, LobatchefTsky n'aurait pas uni par se heurter à une contradiction. En d'autres termes, y a-t-il contradiction d'une part entre les axiomes admis par les géomètres (en mettant de côté le postulatum d'Euclide), et d'autre part le postulatum de LobatchefTsky? Pour nous en rendre compte, nous allons énoncer ces axiomes sous la forme suivante, en mettant en évidence ceux que les géomètres no formulent pas d'ordinaire et qu'ils se contentent d'admettre implicitement.

Axiome 1. — Par deux points, on peut faire passer une droite et une seule; par trois points, un plan et un seul.

Axiome 2. — Toute droite qui a deux points dans un plan est tout entière dans ce plan, ou bien, ce qui revient au même, l'intersection de doux plans est une droite.

Axiome 3. — Si deux figures sont égales, les lignes et les surfaces delà seconde qui sont homologues aux droites et aux plans de la première, sont aussi des droites et des plans.

(') Tout ce qui va suivre, dans cette Note, est dû à M. Poincaré.

Jxiome i. — Dans deux figures égales, les angles homologues sont égaux, ainsi que les distances des couples de points homologues.

Axiome S. — Une figure peut se déplacer en restant égale à ellymème et de telle sorte que tous les points d'une droite restent fixes (mouvement de rotation).

Jxiome 6. — Une figure peut se déplacer en restant égale à ellemême et de telle sorte que tous les points d'une droite se déplacent, mais en restant sur cette droite (mouvement de glissement).

Jxiome 7. — Si un point B est sur la droite AC, la distance AC est égale à la somme des distances AB et AC; dans le cas contraire elle est plus petite.

Y a-t-il contradiction entre ces sept axiomes et le postulatum de Lobatcheffsky, d'après lequel : On peut par un point mener une infinité de plans qui ne rencontrent pas un plan donné.

Afin de lever les derniers doutes à ce sujet, il faut employer un détour. Considérons une sphère qu'on appelle la sphère absolue; appelons domaine intérieur l'ensemble des points intérieurs à la sphère absolue.

Considérons une sphère qui coupe orthogonalement la sphère absolue; la partie de cette sphère qui est dans le domaine intérieur s'appellera faux plan.

Soit de même un cercle qui coupe orthogonalement la sphère absolue; la partie de ce cercle qui est dans le domaine intérieur s'appellera i mis se droite.

Nous pouvons alors énoncer les deux propositions suivantes :

Proposition 1. — Par deux points du domaine intérieur on peut faire passer une fausse droite et une seule; par trois points du domaine intérieur on peut faire passer un faux plan et un seul.

Proposition 2. — L'intersection de deux faux plans est une fausse droite.

Supposons maintenant que l'on fasse une transformation par rayons vecteurs réciproques (n° 9S2), en prenant pour sphère d'inversion un faux plan, c'est-à-dire une sphère coupant orthogonalement la sphère absolue.

Les sphères se transformeront en sphères et les cercles en cercles; de plus, les angles seront conservés; la sphère absolue, coupant orthogonalement la sphère d'inversion, se transformera en elle-même; et à cause de la conservation des angles, les faux plans se transformeront en faux plans et les fausses droites en fausses droites.