GÉOMÉTRIE ^■0.^ EUCLIDIENNE

Le rapport anharmonique de quatre points sur un cercle, tel qu'il a été défini au n" 321, n'est pas non plus altéré par l'inversion.

Soient A et B deux points quelconques du domaine intérieur ; joignons ces deux points par une fausse droite qui viendra couper la sphère absolue en C et en D.

Appelons f a u.\- se dislance des points A et B le logarithme du rapport anharmonique (ABCD), multiplié par le rayon R de la sphère absolue.

L'inversion transformera A et B en deux points A' et B' et la fausse droite qui les joint en une fausse droite qui coupera la sphère absolue en deux points C et D' transformés de C et D. On aura donc

log(ABCD) = log(A'B' CD').

La fausse distance n'est pas altérée par l'inversion.

Soit une figure F quelconque; faisons-lui subir un certain nombre de transformations telles que celle dont je viens de parler, c'est-à-dire un certain nombre d'inversions, la sphère d'inversion étant un faux plan. Je dirai que la figure transformée est congruenie à F; la congruence sera directe si elle résulte d'un nombre pair d'inversions et inverse dans le cas contraire.

Nous pouvons alors énoncer les propositions suivantes :

Proposition 3. — Si deux figures sont congruentes, les lignes et let surfaces de la seconde qui sont homologues aux fausses droites et aux faux plans de la première sont aussi des fausses droites et des faux plans.

Proposition i. — Dans deux figures congruentes, les angles homologues sont égaux; les fausses distances de deux couples de points homologues sont égales.

Les angles étant conservés, deux figures congruentes infiniment pe-

R2 QÎ

tues sont semblables. Le rapport de similitude est =- — ^,> R étant le

rayon de la sphère absolue, pi et p? les distances des deux figures à l'origine, c'est-à-dire au centre de la sphère absolue. Dans le cas où la

sphère absolue se réduit à un plan, ce rapport se réduit à — , jt et jj

étant les distances des deux figures au plan absolu.

Soient D une fausse droite, S et S' deux faux plans passant par D. Soient F une figure quelconque, Fi la figure inverse de F par rapport à S. F2 la figure inverse de Fi par rapport à S'. Les points de D n'oiii pas été altérés par ces deux inversions.

Supposons que, D et S restant fixes. S' varie d'une manière continue, mais en passant toujours par D. f-a figure Fi variera d'une manière con-

5S4 ROTE ti,

tinue, mais en restant congrucnleà cllc-môaic. Ce dcplaccmenl conlinu (accompagné d'ailleurs de déformation) s'appellera une fausse rotation; les points de D resteront fixes.

Soient encore D une fausse droite, S et S' deux faux plans orthogonaux à D.

Soient encore F une figure quelconque, Fi la figure inverse de F par rppport à S, F2 la figure inverse de Fj par rapport à S'. La droite D n'est pas altérée par ces deux inversions ; les points de D sont déplacés, mais ils restent sur D.

Supposons que, D et S restant fixes, S' varie d'une manière continue, mais en restant ortliogonal à D. La figure Fj variera d'une manière continue en restant congruente à elle-même. Ce déplacement continu s'appellera un faux glissement; dans ce mouvement, les points de D se mouvront, mais en restant sur D.

Nous pouvons donc énoncer les deux propositions suivantes :

Proposition 5. — Une figure peut se déplacer en restant congruente à elle-même, et de telle sorte que tous les points d'une fausse droite restent fixes (fausse rotation).

Proposition 6. — Une figure peut se déplacer en restant congruente à elle-même et de telle sorte que tous les points d'une fausse droite se déplacent, mais en restant sur cette fausse droite (faux glissement).

Le lieu des points dont la fausse distance au point A est constante ne doit pas être altéré par les inversions qui ont lieu par rapport à un faux plan passant par A; ce lieu doit donc couper normalement tous les faux plans qui passent par A.

Considérons la sphère S, lieu des points dont la fausse dislance à A est constante; et d'autre part la sphère S', lieu des points dont la fausse distance à B est constante. Si ces deux sphères sont tangentes, le point de contact ne doit pas être altéré par les inversions qui ont lieu par rapport à un faux i)lan passant par A et B, puisque ces inversions n'altàrent aucune des deux sphères. Ce point de contact doit donc être sur la fausse droite AB. D'où cette conséquence : de tous les points G qui sont à une fausse distance donnée de A, celui dont la fausse distance à B est la plus petite est sur la fausse droite AB.

Mais si C est sur la fausse droite AB, il résulte des définitions que la fausse distance AB est la somme des fausses distances AC et BC. Nous pouvons donc énoncer la proposi'.ion suivante :

Proposition 7. — Si un point B est sur une fausse droite AC, la fausse distance AC est la somme des fausses distances AB et BC. Dans le cas contraire, elle est plus petite.