GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE

Il est aisé de vérifier d'autre part que :

Proposition 8. — On peut par un point du domaine intérieur mener une infinité de faux plans qui ne rencontrent pas un faux plan donné.

On remarquera immédiatement que ces huit propositions sont, pour ainsi dire, la traduction des sept axiomes de la Géométrie et du postiilatum de Lobalchcffsky.il suffit pour passer des uns aux autres de remplacer partout les mots

(i) espace, plan, droite, distance, égal, angle,

par les mots

. \ domaine intérieur, faux plan, fausse droite, fausse distance, ( directement congruent. angle.

(La congruence inverse correspondrait à la symétrie.)

Supposons donc que Lobatclieff'sky, en tirant les conséquences logiques des axiomes et de son postulatum, soit ai rivé à deux propositions contradictoires. Alors, en traduisant son raisonnement de la façon que je viens dédire, c'est-à-dire en remplaçant les mots (i) par les mots (a) correspondants, on arriverait également à deux propositions contradictoires qui seraient des conséquences logiques des propositions 1 à 8 que nous venons d'énoncer.

11 y aurait donc coutradiclion entre ces huit propositions; mais cela est impossible, puisque ces huit propositions sont vraies et appartiennent à la Géométrie ordinaire.

11 est donc certain que LobatchefTsky ne pouvait arriver à une contradiction et que l'on n'y arrivera jamais, quelque loin que l'on pousse les déductions.

Ajoutons qu'un faux plan divise le domaine intérieur (de môme qu'un plan divise l'espace) en deux régions entièrement séparées l'une de l'autre.

La puissance de l'origine par rapport à un faux plan (n" 193) est égale à R-, R étant le rayon de la sphère absolue; elle est donc constante.

Convenons d'appeler faux plan toute sphère telle que la puissance de l'origine par rapport à cette sphère soit égale à une constante donnée K, mais en supposant cette constante négative. En d'autres termes, supposons que le rayon de la sphère absolue soit imaginaire.

Nous désignerons toujours par fausse droite l'intersection de dcui faux plans.

Ici, il n'y a plus lieu de distinguer un domaine intérieur : un faux plan n'est plus une portion de sphère, mais une sphère entière.

Un faux plan et une fausse droite se coupent alors en deux points que Rappellerai points antipodes. Ces deux points sont en ligne droite avec l'origine et le produit des rayons vecteurs sera égal à K,

Dans le cas du § III (c'est-à-dire quand K était positif et la sphère absolue réelle), une sphère et un cercle orthogonaux à cette sphère absolue se coupaient encore en deux points antipodes; mais un seul de ces deux points appartenait au domaine intérieur et par conséquent au faux plan et à la fausse droite envisagés.

Si K était positif, les deux points antipodes seraient d'un même côté de l'origine.

Si K est négatif, ils sont de part et d'autre de l'origine.

Quand un point se rapproche de l'origine, son antipode s'éloigne indéfiniment; nous sommes ainsi amenés à regarder tous les points à l'infini comme un point unique, antipode de l'origine.

Dans ces conditions, un faux plan et une fausse droite se rencontrent toujours, et il en résulte qu'un triangle curviligne dont les côtés sont des fausses droites, a la somme de ses angles plus grande que deux droits (cette somme était au contraire plus petite que deux droits dans le cas du § III).

Nous conserverons la définition de la fausse distance AB; seulement les points C et D qui figurent dans cette définition sont maintenant imaginaires, puisque la sphère absolue est devenue imaginaire. On peut éviter la considération de ces points imaginaires en remarquant que si A' et B' sont les antipodes de A et B, la fausse distance AB est égale à

/^, i-+-iv/fA'AB'B)

/Klog , »

I — iv/(A'AB'B)

(A'AB'B) représentant le rapport anharmonique des quatre points.

Nos sept premières propositions subsistent avec un seul changement : la proposition 1 comporte une exception; si deux points sont antipodes; on peut faire passer par ces deux points une infinité de fausses droites, de même par trois points, dont deux sont antipodes, on peut faire passer une infinité de plans.

Quant à la huitième proposition, elle doit être remplacée par la suivante :

Proposition 8 bis. — Par un point donné, non seulement on ne peut pas mener une infinité de faux plans qui ne rencontrent pas un faux plan donné, mais on n'en peut mener aucun

GÉOMÉTRIE >;Oi'S EliCLIUlLN^E. 38^

On peut conclure de là que l'on pourrait, sans contradiction logique, construire une Géométrie où l'on conserverait les sept axiomes ordinaire-, mais en admettant que l'axiome 1 cesse d'être vrai dans certains cas d'exception; nous voulons dire qu'il y aurait certains couples de points exceptionnels par lesquels on pourrait faire passer, non pas une droite, mais une infinité de droites. De même, par un de ces couples de points exceptionnels et par un troisième point de l'espace, on pourrait faire passer une infinité de plans.

Quant au postulatum d'Euclide ou à celui de Lobatcheffsky, ils devraient être remplacés par le suivant : par un point, on ne peut mener aucun plan parallèle à un plan donné.

« Traduisons » en effet ces axiomes en remplaçant les mots (i) par les mots (2) nous retrouverons nos huit nouvelles propositions qui étant vraies ne sauraient être contradictoires.

Dans cette nouvelle Géométrie non euclidienne, qui est connue soi'.s le nom de Géométrie de Kiemann, la somme des angles d'un triangle est supérieure à deux droits. Nous avons vu plus haut que Lobatcheffsky avait démontré que cette somme ne peut-être qu'égale ou inférieure à deux droits; c'est que le géomètre russe admettait ([ue l'axiome i est vrai sans aucune exception.

Ainsi en « traduisant » une proposition quelconque de la Géométrie de Lobatcheffsky ou de celle de Riemann, on retrouvera une proposition euclidienne.

Démontrons maintenant que les formules de la Trigonométrie sphcrique sont les mômes dans les trois Géométries. En effet, considérons dans la Géométrie de Lobatcheffsky (ou celle de Riemann) une proposition de Trigonométrie sphérique; ce sera une relation entre les côtés et les angles d'un triangle sphérique, ou, ce qui revient au môme, une relation entre les angles plans et les dièdres d'un trièdre non euclidien T. Traduisons cette proposition en remplaçant les mots (i) par les mots (2) : nous obtiendrons une relation entre les angles sous lesquels se coupent trois faux plans, et les angles sous lesquels se coupent les trois fausses droites intersections mutuelles de ces trois faux plans; c'est-à-dire entre les angles plans et les dièdres du trièdre T' formé par les plans tangents à nos trois faux [ilans en leur point d'intersection.

La relation n'aura d'ailleurs pas été altérée par la traduction, puisque le mol angle se traduit par angle. La relation est donc la même entre les éléiuenls du trièdre non euclidien T et ceux du trièdre euclidien T'.

Introduisons maintenant une transformation nouvelle que j'appellerai la transformation T. Soit 0 l'origine, A un point quelconque, A' son antipode; B le conjugué harmonique de 0 par rapport au segment AA'; le point B sera regardé comme le transformé du point A.

Dans celte transformation T :

1° La sphère absolue n'est pas allcrce;

2° Un faux plan est transformé en un plan proprement dit qui n'est autre que le plan polaire de l'origine par rapport à la sphère dont fait partie ce faux plan;

3° Une fausse droite se transforme en une droite proprement dite;

4° La fausse distance de deux points A, B est par définition le logarithme du rapport anharmonique (ABCD), les points C et D étant les intersections de la sphère absolue et de la fausse droite AB. Par notre transformation T, les points C et D ne changeront pas, les points A et B seront transformés en A' cl B'. Les quatre points A'B'CD seront en ligne droite et le rapport anharmonique (A'B'CD) sera le carré de (ABCD).

Nous pourrons alors appeler fausse distance de deuxième sorte des points A' et B' le demi-logarithme de (A'B'CD), ce sera la même chose que la fausse dislance des points A et B.

5° Les angles seront altérés par la transformation T conformcmenl aux règles du n° HSj. Soient deux plans quelconques, elles deux plans tangents (imaginaires) menés par leur intersection à la sphère absolue,

soit p le rapport anharmonique de ces quatre plans; l'expression — -'^' -

2 y/ — I s'appellera \q faux angle de ces deux plans. L'angle de deux faux plans est égal au faux angle des deux plans qui sont leurs transformés

6° Soient deux points A et B inverses l'un de l'autre par rapport au faux plan P; soient. A' et B' leurs transformés, P' le transforme de P (ce sera un plan). Soit Q le pôle du plan P' par rapport à la sphère absolue. Les points Q, A', B' sont sur une même droite qui coupe le plan P' en un point R conjugué harmonique de Q par rapport au segment A'B'. Les points A' et B' sont donc transformés l'un de l'autre par homologie; mais cette homologie satisfait à des conditions particulières, puisque {voir n° 938) le centre d'homologie est le pôle du plan d'homologie par rapport à la sphère absolue et que le rapport d'homologie est égal à — I. «

Considérons une figure, et ses transformées successives par une série d'homologies satisfaisant à ces conditions. On dira que ces diverses

GÉOilÉllilE >0?f ELCLII)1E>.\E. SSg

figures sont congruentex de la seconde manière. Il est clair que si deux figures sont congruentes de la première manière, leurs transformées par la transformation T seront congruentes de la seconde manière.

Ces considérations nous font connaître une autre manière de déduire une proposition de la Géométrie ordinaire de toute proposition do la Géométrie non euclidienne.

Il suffit pour cela de la traduire en remplaçant les mots :

(i) espace, plan, droite, distance, égal, angle.

par les mots :

/ domaine intc'rieur, plan, droite, fausse distance de la deuxième (3)1 sorte, directement congruent de la deuxième manière, jaux \ angle.

Voila donc une nouvelle interprétation qui, en ce qui concerne la Géométrie de Riemann, soulève l'observation suivante :

Deux points antipodes ont le même transformé par la transformation T; par conséquent, dans la nouvelle manière d'interpréter la Géométrie de Riemann, un plan et une droite ne peuvent avoir qu'un point commun; l'axiome i est vrai sans comporter aucune exception. Comment se fait-il alors que, contrairement à la démonstration de Lobatcheffsky, la somme des angles d'un triangle soit supérieure à deux droits? C'est que nous avons abandonné une autre des hypothèses fondamentales de la Géométrie : il n'est plus vrai de dire qu'un plan partage l'espace en deux régions de telle façon qu'on ne puisse passer d'une de ces régions à l'autre sans traverser ce plan.

Il est inutile d'ajouter que toutes ces propriétés peuvent être transformées d'une manière quelconque par homologie. La sphère absolue sera alors remplacée par un ellipso'i'de ou un hyperboloïde absolu. A part ce changement, les définitions de la fausse distance de la seconde sorte, de la congruence de la seconde manière, du faux angle ne seront pas changées; le caractère projectif de ces définitions est en effet manifeste.

La Géométrie non euclidienne à trois dimensions, étant ainsi constituée, contient, comme cas particulier, la Géométrie plane non euclidienne. Aux figures situées dans un plan non euclidien, correspondront dans l'espace euclidien, les figures situées dans un faux plan quel-

SgO NOTE II.

conque que nous pourrons d'ailleurs choisir arbitrairement. Nous choisirons un faux plan P passant par l'origine et qui sera par conséquent à la fois un faux plan et un pian au sens ordinaire du mol.

Ce faux plan P coupera la sphère absolue suivant un cercle qu'on appellera le cercle absolu. Les fausses droites de P couperont orthogonalement ce cercle absolu; la puissance de l'origine par rapport à ces fausses droites sera égale à K.

Nous allons voir d'abord que la Géométrie de Riemann à deux dimensions ne diffère pas essentiellement de la Géométrie sphérique. Supposons donc K négatif; construisons une sphère S de rayon / — Rayant pour centre l'origine. Soit F une figure de la sphère, projetons-la stéréographiqiiement sur le plan P (n" 9o8). Cette projection conservera les angles, les grands cercles de la sphère se projetteront suivant des fausses droites; la longueur d'un arc de grand cercle n'est autre chose que la fausse distance des projections de ses extrémités.

Les projections de deux points antipodes de la sphère seront deux points antipodes au sens du paragraphe IV; c'est ce qui justifie cette dénomination.

A chaque théorème de la Géométrie de Riemann correspondra donc un théorème de la Géométrie sphérique; il sufTit, pour la traduire, de remplacer les mots :

(i) droite, ét^nl, longueur, angle,

par les mois :

(4) grand cercle, égal, longueur, angle,

En particulier, les formules de la Trigonométrie plane de Riemann seront les mêmes que celles de la Trigonométrie sphérique ordinaire. On a, par exemple, en Trigonométrie sphérique,

,., sinA sinB sinC

A,B, C étant les angles d'un triangle sphérique, et a, 6, c les longueurs de ses côtés (le rayon de la sphère étant supposé égal à y/ — K), de

Il « « b e . , , , . ,

tjllc façon que i ^ . soient les longueurs des cotes

correspondants du triangle semblable construit sur la sphère de rayon i.

La formule (5)sera encore vraie d'un triangle plan dans la Géométrie •^0 Riemann.

l;lle sera encore vraie (par continuité) d'un triangle plan dans la

GÉOMÉTniE JrOM tUCLIDIENNE. SqI

Géométrie de Lobatcheiïsky. Seulement, K étant positif, la formule se présente sous une forme imaginaire. Pour lui rendre la forme réelle servons-nous d'une formule d'Analyse

2sin/j: = e-^ — e^;

notre formule (5) deviendra :

,r I ■ s sinA sinB sinC

(5 bis)

ev/K

ev'iî- e

Soient F une figure sphérique quelconque, F' sa projection stéréographique sur le plan P. Comment pourrait-on obtenir la transformée F' de F' par la transformation T du paragraphe V? Pour cela menons à la sphère S un plan tangent parallèle à P; faisons la perspective de F sur ce plan, en prenant pour point de vue le centre de la sphère; et enfin projetons orthogonalement sur le plan P la perspective obtenue; il est aisé de montrer que la figure ainsi construite n'est autre chose que F'. On vérifie immédiatement qu'aux grands cercles de F correspondent les droites de F".

Lorsque K est positif, la sphère S est imaginaire; on peut donc dire que la Géométrie plane de Lobatcheffsky est la Géométrie d'une sphère imaginaire; mais il y a bien des moyens d'éviter cette sphère imaginaire et d'arriver à la formule (5 bis) et aux formules analogues sans passer par la considération des imaginaires. Nous nous bornerons à indicjuer sommairement le suivant :

Considérons un hyperboloïde de révolution à deux nappes. Soit P le plan de symétrie qui ne rencontre pas la surface; soient N l'une des nappes et V le point où l'axe de symétrie perpendiculaire à P vient rencontrer l'autre nappe. Soit F une figure quelconque tracée sur la nappe N : faisons-en la perspective sur le plan P, en prenant V pour point de vue. Toutes les sections planes do l'hyperboloïde se projetteront suivant des cercles.

Menons par V des parallèles aux génératrices du cône asymptote. Nous obtiendrons un certain cône de révolution qui viendra couper le plan P suivant un certain cercle C. Ce cercle est la projection des [)oints à l'infini de l'hyperboloïde.

Si nous prenons C pour cercle absolu, les sections diamétrales de l'hyperboloïde se projetteront suivant des fausses droites.

A chaque point de la nappe N correspond ainsi un point du domaine intérieur et par conséquent un point du plan non euclidien. Cette construction joue, pour la Géométrie de LobatchefTsky, le rùlc que jouuit

tout à l'heure la projection stéréographique pour la Géométrie de Rie-

mann.

Soient, dans le plan P, deux figures congruentes, Fi et F'i, qui soient

les projections de deux figures F et F' de la nappe N; les coordonnées

d'un point de F' sont alors des fonctions linéaires et homogènes des

coordonnées du point homologue de F; il suffit de montrer qu'il en est

ainsi quand on suppose que Fi et F'i sont transformées l'une de l'autre

par une seule inversion, le cercle d'inversion étant une fausse droite;

or cela se vérifie immédiatement.

Soient

l'équation de l'hyperboloïde, et

(x,j,z), ix',y,z')

les coordonnées de deux points de N. Soit o la fausse distance des projections de ces deux points; on vérifie aisément que

i{zz' — xx' — yj-') = e^-i- e-°.

Celte formule, d'où l'on peut déduire toutes celles de la Trigonométrie plane non euclidienne, est l'équivalent de la formule de Géométrie analytique qui donne le cosinus de l'angle de deux directions en fonction de leurs cosinus directeurs.

Dans les pages qui précèdent nous n'avons fait usage que des principes de la Géométrie élémeniaire; tout au plus dans le paragraphe précédent avons-nous invoqué une formule d'Analyse, et quelques formules de Géométrie analytique, ce que nous aurions d'ailleurs pu éviter au prix de quelques longueurs. Nous ne saurions cependant clore cette Note sans dire quelques mots des liens qui rattachent la Géométrie plane non euclidienne à la Géométrie infinitésimale des surfaces. Nous renverrons d'ailleurs pour les théorèmes dont nous aurons à nous servir, à l'Ouvrage classique de M. Darboux.

Deux surfaces sont dites applicables l'une sur l'autre, si l'on peut déformer l'une d'elles (sans altérer les longueurs des lignes tracées sur celte surface et les angles sous lesquels ces lignes se coupent) de manière à l'appliquer sur l'autre sans déchirure ni duplicature.

Une géodésique d'une surface est, par définition, le plus court chemin d'un point à un autre sur celte surface. Il est clair que si deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre, les géodésiques de l'une

GÉOMÉTRIE >0>' EUCLIDIENNE. 5q3

correspondront aux géodésiques de l'autre, puisque la déformation, n'altérant pas les longueurs, conserve les géodésiques.

La courbure totale d'une surface est l'inverse du produit des deux rayons de courbure principaux. On démontre que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface soit applicable sur une sphère de rayon R, c'est que cette surface ait sa courbure totale constante et

égale à p.

Une sphère est applicable d'une infinité de manières sur elle-même; une surface à courbure totale constante sera donc aussi applicable sur elle-même d'une infinité de manières.

Il est clair que la Géométrie des lignes tracées sur une surface sera la même que la Géométrie des lignes tracées sur une surface applicable sur la première.

Or nous avons vu que la Géométrie plane de Riemann ne difTère pas de la Géométrie de la sphère; elle ne différera donc pas non plus de la Géométrie des surfaces à courbure totale constante positive.

Les triangles dont les côtés sont trois géodésiques tracées sur une pareille surface auront la somme de leurs angles supérieure à deux droits et leurs éléments seront liés par les formules de la Trigonométrie sphérique.

Mais il y a également des surfaces réelles à courbure totale négative, connues sous le nom de surjaces de Behrami. La Géométrie de ces surfaces ne différera pas de celle de Lobatcheffsky.

Les triangles dont les côtés sont trois géodésiques tracées sur une surface de Beltrami auront la somme de leurs angles inférieure à deux droits et leurs éléments seront liés par les formules de la Trigonométrie plane non euclidienne.

H. et DE C. — Tr. lie Ceom. (II* Partie)