FORMES PERSPECTIVES

!. En Géométrie projcctivc (géométrie de position), on considère coiiiine cléments simples des figures :

Lq point, la droite (indéfinie) et le plan (indéfini).

Les points soni ordinairement désignés par les lettres majuscules A, B, ... ; les droites, par les lettres minuscules a, b, ... ; les plans, par les lettres grecques a, p, .. .

2. Ces éléments sim|)les donnent naissance à sc\^\. jormcs fondamentales :

1° La division oa ponctuelle reclilignc, ayant pour éléments tous les points d'une même droite indéfinie qu'on appelle la base, ou le support de la ponctuelle (MOI).

i"" Lq faisceau de rayons ou la radiée, ayant pour éléments toutes les droites menées par un même point {centre ou sommet du faisceau) dans un même plan (319).

3° Lq faisceau de plans ou h feuillce, dont les éléments sont tous les plans menés par une même droite (axe de la feuillée).

4" Le système plan, qui a pour éléments tous les points et toutes les droites situés dans un même pla\., appelé support du système; quand on ne considère que des points ou que dos droites, on emploie aussi les expressions de c/ia/np ponctuel, champ rc<^lé.

( ' ) Les renvois se rapportent au texte du Traité, à la Note III de la pre- .mière Partie et à la Note actuelle; ceux qui visent les numéros de ces Notes seront précédés respectivement des lettres N et N'.

(^) Ces notions préliminaires ont pour but de familiariser le lecteur avec les terminologies les plus récentes, et de coordonner, en les complétant, certains développements disséminés dans le Traité de Géométrie.

5° La gerbe, comprenant toutes les droites et tous les plans menés par un même point, qu'on nomme centre ou sommet de la gerbe; les termes de gerbe de rayons, gerbe de plans n'ont pas besoin d'explication.

6° Vespace, qui a pour éléments tous les points et tous les plans; les expressions de espace ponctuel, espace planaire désignent respectivement la totalité des points et la totalité des plans.

7° Vespace réglé, qui a pour éléments toutes les droites.

La ponctuelle, la radiée et la feuillée sont des formes du premier ordre ou à une dimension; le système plan et la gerbe sont des formes du deuxième ordre ou à deux dimensions ; l'espace est du troisième ordre ou à trois dimensions ; enfin l'espace réglé est du quatrième ordre ou à quatre dimensions. Ces qualifications proviennent de ce que chaque élément simple de l'une de ces formes est déterminé respectivement par un, deux, trois ou quatre paramètres (ou coordonnées); lo nombre des éléments simples de ces formes peut être représenté respectivement par le symbole 00, co', oo^, 00*,

3. Deux formes de même ordre sont dites rapportées l'une à l'autre lorsque à chaque élément de l'une on fait correspondre, en vertu d'une certaine loi, un élément de l'autre. On dit aussi que cette loi transforme la première figure en la seconde.

Ainsi, on rapporte une gerbe do rayons à une gerbe de plans si l'on considère comme éléments homologues ou correspondants un rayon do la première et un plan de la seconde qui sont perpendiculaires.

Deux formes qui sont rapportées à une même troisième sont, par cela même, rapportées l'une à l'autre; car on peut considérer comme éléments homologues des deux premières formes deux éléments qui correspondent à un même élément de la troisième.

4.. Si deux formes du premier ordre sont rapportées l'une à l'autre, de manière qu'à chaque élément de la première il corresponde n éléments de la seconde, et à chaque élément de la seconde m éléments de la première, on dit qu'il existe entre ces formes une correspondance (TO, n).

Par exemple, si l'on joint chaque point M d'une circonférence r à un point fixe A de celte courbe et à un point fixe B non situé sur cette ligne, on aura établi entre les faisceaux [A] et [B] une correspondance (2, i). En effet, un rayon du second faisceau rencontre T en deux points qui, étant joints à A, donnent deux rayons correspondants du faisceau [A]; un rayon du faisceau [A] coupe r au point fixe A dont on peut faire abstraction, et en un point variable M, et l'on associe au rayon AM du premier faisceau le seul rayon BM du second faisceau.

SLR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES. Sqj

5. Lorsqu'il existe entre deux formes du premier ordre une correspondance (i, i), ces formes sont dites projectives ou liomographiquc;.

On voit facilement que deux formes projectives à une troisième sont projectives entre elles.

Les cas le plus simples de deux formes homographiques sont ceux de deux formes perspectives. Nous allons les définir successivement.

Une ponctuelle est dite perspective à un faisceau de rayons ou de plans si chaque élément de la ponctuelle est situé sur l'élément correspondant du faisceau. On dit alors que la ponctuelle est une section (rectiligne) du faisceau, et que le faisceau projette la ponctuelle à partir de son sommet ou de son axe.

Deux ponctuelles sont perspectives si elles sont des sections d'une môme radiée (H03). Le point d'intersection de leurs supports est appelé élément uni, parce qu'il est son propre homologue dans les deux ''ormes.

Deux radiées sont perspectives : i° lorsqu'elles projettent une même ponctuelle à partir de deux centres différents; 2° lorsque, ayant le même sommet, elles sont des sections d'une même fouillée. Dans le premier cas, si elles sont dans un même plan, la droite qui joint les centres est un élément uni; dans le second cas, la ligne d'intersection des plans des deux radiées est un élément uni.

Enfin, deux fouillées sont perspectives si les plans homologues se coupent suivant les rayons d'une même radiée. Le plan de leurs axes est un eïément uni.

Nous appelons quateme l'ensemble de quatre éléments d'une ponctuelle, d'une radiée ou d'une fouillée. On a vu que dans deux jormcs perspectives, les quaternes homologues ont le même rapport anluirmonique (320, 321,584, 58b).

6. Plus généralement, dans deux formes projectives, les quaternes /lomologues ont le mémo rapport anJiarmonique. En effet, cette propriété a déjà été démontrée pour deux ponctuelles projectives (1101), et on l'étend facilement à deux formes projectives quelconques; par exemple, si une radiée et une feuillée sont homographiques, leurs sections rectilignes le sont également, etc.

Deux formes projectives peuvent toujours, par un déplacement con^ venahle de l'une d'elles, être rendues perspectives. Le lecteur établira facilement cette proposition; les solutions des cas principaux sont renfermées dans les théorèmes suivants :

Deux ponctuelles projectives qui ont un élément uni sont pcrspec' tivcs (324).

Deux radiées projectives sont perspectives : 1" lorsqu'elles sont situées

SgS NOTii m.

dans un même plan et que la droite joignant leurs centres ( supposés distincts) est un élément uni; i° lorsqu'elles ont même sommet et que l'intersection de leurs plans (supposés distincts) est un élément uni.

Deux feuiUée<; projectives sont perspectives, lorsque leurs axes sont situés dans un même plan qui est un élément uni des deux formes.

7. Un système plan et une gerbe sont perspectifs si, à chaque rayon de la gerbe, on fait correspondre son point d'intersection, et à chaque plan de la gerbe sa ligne d'intersection avec le support du système. On dit alors que le système est une section de la gerbe, et que la gerbe projette le système.

Deux gerbes sont perspectives si elles projettent le même système plan.

Deux systèmes plans sont perspectifs s'ils sont des sections d'une même gerbe; autrement dit, ces deux systèmes sont une projection centrale l'un de l'autre (586). A cause de leur importance, il convient d'insister plus longuement sur ces figures.

8. Considérons à cet effet deux plans XYVZ, XYW'T' et un point fixe S {fig. i). A un point quelconque A du premier plan nous faisons

Fis. 1

correspondre le point A' oîi la droite SA rencontre le second plan. Quand A décrit une droite AD, A' parcourra également une droite A'D; ces droites homologues AD, A'D sont dans un même plan passant par S et se coupent sur la droite XY (ou sont parallèles à XY). Les deux systèmes plans XYVZ, XY'W'T', ainsi rapportés l'un à l'autre, sont dits perspectifs; S est le centre perspectif, XY est Vaxe perspectif. Cet axe est un lieu de points unis.

Menons par S un plan ST' W parallèle à XYV et rencontrant le plan T'XY suivant la droite T'W; menons encore le plan SPQ parallèle

à T' XY et rencontrant le plan XYV suivant la droite PQ. Ces lignes T' W, PQ, qui sont parallèles à l'axe XY, s'appellent lignes de fuite (oSS) des plans XYV, T'XY; par exemple, le point à l'infini sur la droite DA a pour homologue le point J' où le rayon SJ' parallèle à DA rencontre T' W, et le point I où AD coupe PQ a pour correspondant le point à l'infin de A'D.

Remarquons encore qu'à une ponctuelle et à une radiée du plan XYV correspondent, dans le plan T'XY, respectivement une poncluelle ou une radiée, et que deux formes homologues du premier ordre sont ellesmêmes perspectives (N'., 6).

9. Voici les cas particuliers remarquables de deux systèmes plans perspectifs.

i" Si le centre perspectifs se transporte à l'infini sur une droite déterminée «, et si l'axe perspectif XY est à dislance finie, les deux systèmes plans sont perspectivement ajfins; l'un est une projection cylindrique de l'autre, les rayons projetants étant parallèles à u. Les lignes de fuite sont maintenant à l'infini; autrement dit, les lignes de l'infini des deux systèmes se correspondent. Cette propriété entraîne les suivantes : a. A tout faisceau de parallèles correspond un faisceau de parallèles, b. Deux ponctuelles homologues sont toujours semblables, c. Si l'on rapporte deux systèmes affins à deux triangles homologues, deux points correspondants ont toujours les mêmes coordonnées barycentriques ; en prenant pour axes coordonnés deux droites quelconques du premier système et leurs homologues du second système, on a entre les coordonnées de deux points homologues des relations de la forme x'= Ix, j' = i^y (Clairaut, Mém. Ac. Se. Paris, lySi).

2° Si ie centre perspectif S est à distance finie, et l'axe perspectif à distance infinie, les deux systèmes sont perspectivement semblables ou homothétiques.

3° Si le centre perspectif se transporte à l'infini sur une droite donnée «, et si les supports des deux systèmes sont parallèles, les deux systèmes sont perspectivement congruents. Une translation parallèle à u fait coïncider les deux systèmes.

10. Etant donnés deux systèmes plans perspectifs XYV, T'XY, st l'on jait tourner l'un d'eux autour de l'axe XY en conservant la correspondance des éléments, les deux systèmes restent toujours perspectifs, mais le centre perspectif décrit une circonjérence.

En effet, si l'on considère deux triangles homologues AB'-, A'B'C, les côtés correspondants continuent à se couper sur l'axe lorsqu'on

fait tourner A'B'C autour deXY; par conséquent, les côtés homologues BC etB'C, CA et C'A', AB et A'B' continuent à déterminer trois plans formant un trièdre S, et les droites AA', BB', CC ne cessent de concourir en un même point S. En remplaçant le couple CC par d'autres, on voit que deux points homologues sont toujours alignes sur un point fixe.

Revenons aux deux systèmes dans leur position primitive, et menons par le centre S un plan perpendiculaire à l'axe XY; soient PX, XT, ses intersections avec les plans proposés et achevons le parallélogramme PXT'S. T' sera l'homologue d'un point T situé à l'infini sur PX, et P sera le correspondant d'un point P' situé à l'infini sur XT'. Mais si l'on fait tourner le plan T'XY autour deXY, les points T et T', I' et P' seront toujours des éléments homologues des deux systèmes, et il suffira de construire un parallélogramme sur XP et XT' pour obtenir le nouveau centre de perspective. On en conclut que ce point décrit une circonférence qui est située dans le plan perpendiculaire à XY en X, et qui a pour centre le point P, pour rayon XT'.

H. Lorsque le plan T'XY, en tournant autour de XY, vient se rabattre sur le plan XYV, les deux systèmes plans, réunis sur le môme support, jouissent encore des propriétés suivantes : deux droites homologues se coupent sur l'axe et deux points liomologues sont alignés sur un point fixe. On les appelle maintenant systèmes perspectifs superposés ou systèmes /lomologiques; pour les propriétés et les cas particuliers de ces figures, nous renvoyons aux §§ 728-733.

12. On peut rapporter deux espaces l'un à l'autre en s'imposant les conditions que deux points homologues soient toujours alignés sur un point fixe S, et que deux droites homologues se coupent sur un plan fixe ij. Nous allons démontrer que ces conditions ne sont pas contradictoires.

La correspondance entre les deux espaces est établie si l'on se donne S, <j ei UD premier couple de points correspondants A, A' {,fg. 2). Alors, pour trouver l'iiomologue d'un point quelconque B du premier espace, nous menons la droite AB qui coupe a en F, et nous joignons F à A'; les droites FA', SB, qui sont situées dans un même plan, se rencontreront au point cherché B'. Soit CC un autre couple de points correspondants obtenu par le même procédé; il importe de démontrer que es droites BC, B'Cse coupent sur le plan a. D'abord, ces droites sont situées dans un même plan CSB ; ensuite, les côtés homologues des deux triangles ABC, A'B'C se coupent en trois points situés sur la ligne d'intersection des plans de ces triangles, et comme deux de ces

SLR LES TRANSFOIIMATIONS L[.\ÉA1U£S ET QlADRA TIQL ES. Go 1

points, F et E, appartiennent déjà au plan a, il en est de même du troisième D. Observons aussi que, lorsqu'un point M parcourt une droite BC, son homologue M' décrira la droite B'C. Par suite, lorsque la droite AAI engendre le plan ABC, son homologue A'M' engendrera le

plan A'B'C. Il résulte de là que tout plan du premier espace a pour homologue un plan du second espace, et ces deux plans se coupent sur a.

Les deux espaces que nous venons de considérer sont d'ils perspectifs ou homologiques ; S est le centre d'homologie, et or le plan d'Itomologie.

Un plan quelconque SHK mené par S coupe les deux espaces suivant deux systèmes plans homologiques, ayant pour axe l'intersection IIK des plans HSK, a\ soient i et y' les lignes de fuite de ces systèmes. Si ce plan est mené par une perpendiculaire SH au plan u, et qu'on le fasse tourner autour de SH, les éléments correspondants des deux espaces qu'il renferme continueront à se correspondre dans ces espaces; on conclut de là que les plans engendrés par les droites i et y' sont les lieux des points de l'un des espaces qui ont leurs homologues à l'infini. Ces plans sont appelés plans de fuite des deux espaces homologiques.

Pour une élude plus détaillée et pour les cas particuliers, nous renvoyons aux §§ 9:^8-943.

6o2 NOTE m.

TRANSFORMATIONS LINEAIRES.

13. Deux formes fondamentales du deuxième ordre sont dites homographiques, coUinéaires ou projectives dans les conditions suivantes :

\° Deux systèmes plans tt, i:', si à tout point A de tt on fait correspondre un point A' de it et à toute droite a de tt, passant par A, un? droite a de tt', passant par A';

2° Un système plan tt et une gerbe S, si à tout point A de tt correspond un rayon a de S, et à toute droite a de ■ji, passant par A, un plan a de S, passant par a';

3° Deux gerbes S, S', si à tout rayon a de S correspond un rayon a de S', et à tout plan a de S, passant par a, un plan a' de S', passant par à .

On voit immédiatement que deux formes du second ordre perspectives sont projectives ; ces formes sont encore projectives quand on déplace l'une d'elles, mais elles cessent alors, en général, d'être perspectives. De mêniQ, si dans une suite de formes fondamentales du second rang, chaque forme est perspective à la suivante, la première et la dernière sont projectives. Remarquons encore que deux formes du second rang qui sont homographiques à une même troisième, sont homo- ' graphiques entre elles.

Nous n'étudierons ici que les systèmes plans coUinéaires.

14. Soient ir, ir' deux systèmes plans coUinéaires; désignons par (A, A'), (B, B'), ... des couples de points correspondants,par (a, a'), {b, b')-, ... des couples de droites correspondantes. De la définition on tire les conclusions suivantes :

1° La droite AB a pour homologue la droite A'B'; car à la droite passant par les points A et B doit correspondre une droite passant par les points homologues A' et B'.

1° Le point d'intersection de deux droites «, i de tu a pour homologue le point d'intersection des droites correspondantes a', b' de ir.

3° Une ponctuelle de tt a pour homologue une ponctuelle de tt', homographique à la première.

4* Une radiée de tt a pour homologue une radiée de tt', homographique à la première.

15. Pour construire deux systèmes coUinéaires tt, tt' on peut se donner arbitrairement quatre couples de points homologues (A, A), (B, B'), (C, C), (D, D'), pourvu que les points A, B, C, D et les [joints A', B', C, D' soient les sommets de deux quadranglcs propre-

SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES. 6o3

ment dits. Ces quadranglcs se correspondront dans toutes leurs parties : les droites AB, BC, CD, DA, AC, BD auront pour homologues les droites A'D'; B'C, CD', D'A', A'C, B'D'; les points d'intersection E, F, G des couples de droites (AB, CD), (AD, BC), (AC, BD) auront pour

Fi-. 3.

correspondants les points d'intersection E', F', G' des couples do droites (A'B', CD'). (A'D', B'C), (A'C, B'D'). Cela posé, les points A et A' sont les centres de deux radiées projectives [A], [A'], dont nous connaissons trois couples de rayons correspondants (AB, A'B'), (AC, A'C), (AD, A'D'); nous pourrons donc en tracer autant de couples d'élémenls homologues que nous voulons. Construisons de même les radiées projectives [B], [B'] qui se correspondent dans les systèmes -, tt'. Un point quelconque M du système - est à l'intersection de deux rayons des faisceaux [A], [B]; les rayons homologues des faisceaux [A'], [B'] se coupent au point M'. Si l'on répète cette construction pour les différents points d'une droite PQ, il est facile de voir que leurs homologues se trouveront sur une droite P'Q'. En eiïct, lorsque M parcourt PQ, les rayons A.M, B.M engendrent deux faisceaux perspectifs ayant le rayon uni AB; par suite, les droites A'M', B'M' engendreront deux faisceaux projeclifs, qui sont même perspectifs à cause du rayon uni A'B'.

Pour déterminer l'iiomologue P'Q' d'une droite donnée PQ, on cherche les homologues de deux de ses points, de préférence ceux des points P, Q où la droite donnée rencontre deux côtés du quadranglc ABCD. On est ainsi amené à construire les deux ponctuelles projectives [-VU], [A'B'] dont on connaît ieux ternes homologues ABE, A'B'E', et les deux ponctuelles projectives [CD], [C'D'J dont on connaît les ternes homologues CDE, C'D'E'. Il est facile de voir que celte construction de deux droites homologues PQ et P'Q' fait correspondre à une radiée de - une radiée de tt'.

6o4 NOTE III.

Soient I, J'ies points de fuite des ponctuelles projectives [AB], [A'B'], et II, J'i ceux des ponctuelles projectives [CD], [CD']; la droite IIi de « correspond à la droite de l'infini de tt', et J'JÎ est la ligne de ir'qui correspond à la droite de l'infini de tt. IIi et J'J', sont donc les lignes de fuite des deux systèmes ir, ir'.

16. Si les ponctuelles [AB], [A'B'] sont semblables, de même que les ponctuelles [CD], [CD'], les points de fuite I et J', Ii et Ji sont à l'infini (1102), et les lignes à l'infini des deux systèmes se correspondent. On a alors deux systèmes dits ajfina. Tout point à l'infini de tt ayant son homologue à l'infini dans ■ji', un faisceau de droites parallèles correspond à un faisceau de parallèles, et deux ponctuelles homologues sont toujours semblables. Cette dernière propriété conduit à une construction facile des deux figures quand on connaît deux triangles homologues ABC, A'B'C : si l'on prend pour axes coordonnes du système tt les droites AB, AC, pour axes du système tz les droites A'B', A'C, les coordonnées de deux points homologues sont liées par les relalions

^=AB-^' -^^ÂC-^-

Remarquons aussi que deux points homologues ont les mêmes coordonnées barycentriques respectivement par rapport aux deux triangles ADC, A'B'C.

Si les quadrilatères ABCD, A'B'C D' sont semblables, les systèmes r, Tt' sont semblables ; si ces quadrilatères sont égaux, les deux systèmes sont égaux.

17. Deux systèmes coUinéaires it, Tt', qui ont le même support, sont dits superposés. Dans de tels systèmes, un point qui coïncide avec son homologue est appelé point double; toute droite qui coïncide avec son homologue prend le nom de droite double.

La droite qui joint deux points doubles A, B est une droite double. Elle est le support de deux ponctuelles projectives des deux systèmes; tout point de la droite AB autre que les points A et B est distinct de son homologue, à moins que les deux ponctuelles ne soient identiques. Dans le dernier cas, les deux systèmes sont dits avoir une ponctuelle double.

Semblablement, l'intersection de deux droites doubles a, b est un point double des deux systèmes ir et t:' ; par ce point, il ne passe pas d'autre droite double, à moins qu'il ne soit le centre d'une radiée double.

Lorsque deux systèmes coUinéaires superposés ont quatre points

SUR LES TRA.NSFORMATIONS LINÉAIRES KT QUADRATIQUES. 6o5

doubles qui sont les sommets d'un quadrangle proprement dit, ces systèmes sont identiques; cela résulte de la construction de deux systèmes collinéaircs donnés par deux quadrilatères homologues ABCD, A'B'C'D' (N'., lo), si l'on suppose ces quadrilatères confondus.

Cherchons les éléments doubles de deux systèmes distincts, définis par les quadrangles homologues ABCD, A'B'C'D'. Si K est un point double, les droites AK et A'K se correspondent dans les faisceaux projectifs [A], [A']; K appartient donc à la conique 2 lieu de l'intersection des rayons homologues de ces faisceaux. Il appartient aussi à la conique 2' lieu de l'intersection des rayons homologues des faisceaux [B], [B']. Ces courbes se coupent généralement en quatre points, dont l'un est le point de rencontre des rayons AB, A'B'. Ce point doit être écarté, car il change avec le choix des points A, A', B, B'; il reste encore trois autres points d'intersection de 2 avec 2', que nous désignons par K, K', K". Donc, en général, deux systèmes collinéaires superposés ont trois points doubles K, K', K" et trois droites doubles K'K', K''K, KK'. L'un de ces points est toujours réel ; les deux autres sont à la fois réels ou à la fois imaginaires.

Supposons que AA' soit un rayon uni des deux faisceaux [A], [A']; ces faisceaux sont alors perspectifs et les rayons homologues se coupent sur une droite m passant par le point d'intersection II des droites AB, A'B'; la conique 2 est composée des droites AA' et m. De même, si BB' est un rayon uni des faisceaux [BJ, [B'], la conique 2' est composée delà droite BB' et d'une droite n menée par R. Les points doubles des systèmes x et -k' sont alors le point d'interscclion des droites AA', BB' que nous désignons par S, et les points de rencontre de AA'avec // et de BB' avec m.

Il peut arriver que les droites m et n se confondent; alors m est le support d'une ponctuelle double, car tout point de m a|)parlienl aux deux coniques 2, 2'. Toute droite menée par S est une droite double puisqu'elle passe par un second point double, situé sur m. 11 résulte de là que tout point M a son homologue M' situé sur la droite (double) SM, et que deux droites correspondantes rencontrent m au môme point (double). Nous retrouvons donc ainsi les systèmes perspectifs superposés.

18. Deux systèmes plans ir, -k sont dits corrélatifs ou réciproques, lorsque à chaque point A de it correspond une droite a' de tz', et qu'à toute droite a de tt passant par A correspond un point A' de i:', situé sur a' .

On remarque immédiatement que deux systèmes plans qui sont polaires réciproques par rapport à une conique (1167) sont corrélatifs.

6o6 NOTE m.

Il résulte de la définilion que la droite joignant deux points A, B de r. a pour homologue le point de rencontre des droites correspondantes a, b' de -'; que le point dinterscction de deux droites a, Z/ de tt a pour homologue la droite joignant les points correspondants A', B' de t^' {fg- 4)

Fig. 4.

On déduit de là qu'une ponctuelle de tt se transforme en une radiée de -', projective à la ponctuelle, et qu'une radiée de tt se transforme en une ponctuelle de -', projective à cette radiée.

Pour construire deux systèmes corrélatifs tt, tJ, on peut prendre arbitrairement quatre couples d'éléments homologues (A, a'), (B, b'), (C, c'), (D, d'), pourvu que A, B, C, D soient les sommets d'un quadrangle proprement dit, et «', h' . c' d' les côtés d'un quadrilatère proprement dit. Les autres éléments de ABCD et a' b' c' d' se correspondront corrélativement, à savoir : les côtés AB, BC, CD, DA, AC, BD, désignés par les lettres m, n, p, q, r, s, aux sommets a'b', b'c', c'd', d'à', a'c', b'd', désignés par les lettres M', N', P', Q', R', S'; les points d'intersection E, F, G des couples de côtés opposés m et p, n et q, r et * du quadrangle ABCD aux diagonales e'. /', g-' joignant les couples de sommets opposés M' et P', N' et Q', R' et S' du quadrilatère a', b', c', d . Construisons un faisceau [A], de centre A, projectif avec une ponctuelle [a'] située sur a', deux ternes homologues étant mqr, M' Q'R'; un rayon x du faisceau et le point correspondant X' de la ponctuelle seront des éléments correspondants des systèmes ~, iz'. Si nous construisons encore un faisceau [B] projectif avec une ponctuelle [b'] en

SLR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQCES. 607

prenant pour ternes homologues mns et M'N'S', nous pourrons considérer un point quelconque U de ir comme l'intersection de deux rayons x,y des faisceaux [A], [B]; la droite homologue «' de rJ sera déterminée par les points correspondants X', Y' des ponctuelles [a'], [ b']. De cette construction des éléments homologues (U, u'), on peut déduire que si U décrit une droite v, u! tourne autour d'un point fixe V. Ces explications suffisent pour montrer comment on peut obtenir le point correspondant à une droite de -, la droite homologue d'un point donné de it', ou le point homologue d'une droite donnée de tc'.

19. Appelons j la droite de l'infini de ic, i' celle de rJ, J' et I les points correspondants de l'autre système; ces points sont nommés les centres des deux systèmes. Si I est situé sur y, i' doit passer p;ir 3'; donc les deux centres sont à distance finie, ou tous deux à l'infini. Nous laissons au lecteur le soin de continuer l'examen du second cas.

Considérons linvolution engendrée par les côtés des angles droits de sommet I; elle se transforme en une ponctuelle involutive ayant pour support i'. Si l'on projette celte ponctuelle à partir de J', on obtient un faisceau involulif, qui possède deux rayons conjugués rectangulaires x',y (1109); appelons Y', X' (/j-. 5) les points à l'infini sur ces

Fi-. 5.

rayons, et j, j^les droites homologues de Tt, lesquelles passent nécet. sairemcnt par I et sont rectangulaires. Nous dé>i.;,Mions encore par Y, X les points à l'infini sur x, y. Les triangles IXY, J'X' Y' se correspondent dans les deux systèmes tt, n' : aux sommets et aux côtés du premier correspondent respectivement les côtés et les sommets du second. Les droites x et j, r' et j' sont appelées les ares des deux systèmes tz, t:'. Si un point P' parcourt la droite x', la ponctuelle qu'il engendre est

6o8 NOTE III.

projective avec le faisceau de centre X, engendré par la droite correspondante p, et par suite avec la ponctuelle déterminée par le point P où p rencontre x; ces ponctuelles [P], [P'] ayant pour points de fuite les points I, J', on a

(i) lP.J'P'=aS

a étant une constante. Semblablement, la ponctuelle engendrée par un point Q' mobile sur j' est projective avec le faisceau, de centre Y, engendré par la droite correspondante q, et par suite avec la ponctuelle déterminée par le point de rencontre Q de 7 avec y\ ces points Q, Q' satisfont à une relation de la forme

(2) \Q.yÇ)'=b^-,

h étant une constante. Cela posé, un point quelconque M de ■;: est déterminé par un rayon p du faisceau [X], et un rayon q du iaisceau [Y] ; ces rayons sont perpendiculaires respectivement à a; et à/. La droite correspondante m! est déterminée par les points P', Q' oîi elle rencontre x' , y'\ les relations (i) et (2) donnent une construction facile pour déduire M de m' ou m' de M.

Il y a plus : si l'on superpose le système ~' au système tt en faisant coïncider J'X' avec IX et J'Y' avec lY, on obtient deux figures polaires réciproques par rapport à l'ellipse «'j-^h- ^-^2= a^^*. Si l'on plaçait l'angle Y'J'X' sur l'angle YIXi, les deux systèmes deviendraient polaires réciproques par rapport à l'hyperbole a?)-"^ — b-x'^ = — à^h^. On pourrait aussi placer l'angle Y'J'X' sur l'angle YiIXi; alors ir et u' seraient polaires réciproques par rapport à l'ellipse imaginaire

Deux systèmes polaires réciproques sont dits réciproques en involation, parce que deux éléments (M, m') continuent à se correspondre si l'on attribue M au second système et m! au premier.

20. Étant donnés deux systèmes réciproques 7:, r', qui sont situés dans un même plan, on appelle /io/«f^ incidertts\Qs points d'un système qui appartiennent aux droites correspondantes de l'autre; ces droites elles-mêmes sont appelées droites incidentes.

Observons d'abord que ces éléments restent incidents quand on les range dans l'autre système. En effet, désignons un même point du plan par M ou par N' suivant qu'il est considéré dans le premier système ou daiis le second, et soient m' et n les droites correspondantes du second ou du premier système. Si M est situé sur m', la droite n\ qui

SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIKES ET QUADRATIQUES. 609

correspond au point N' de m' dans îe système tc', doit passer par le point homologue de m\ c'est-à-dire par M; donc le point M(N') est situé sur ses deux droites homologues m' et n. On démontre de même qu'une droite incidente contient ses deux points homologues.

Les points incidents appartiennent à une conique E, et les droites incidentes enveloppent une seconde conique E'. — Pour démontrer ce lliéorème, soient jM un point mobile sur une droite u, m' la droite correspondante de Tt', Ml le point oià m' rencontre u, U' le point correspondant à m; le point variable M engendre une ponctuelle [u] qui est projective à la radiée [U'] engendrée par m', et par suite à la ponctuelle [«1] décrite par Mi. Les ponctuelles [u], [i^,] ont deux points doubles P, Q (llOi); ces points sont évidemment des points incidents, et les droites U'P, U'Q sont des droites incidentes. Il en résulte que le lieu géométrique des points incidents est rencontré par une droite quelconque u en deux points, et que l'enveloppe des droites incidentes admet deux tangentes passant par un point quelconque U'. Ces courbes sont donc des coniciues.

Lorsque les courbes E, E' coïncident, les systèmes u, t: sont en involution.

21. La transformation qui (ait correspondre à un point et à une droite du système plan tt un point et une droite d'un système tc' (N'., III, 13) est appelée //o/?2o^'r«/;//«e ou collinéatwn ; colle qui fait correspondre à un point une droite et à une droite un point, a reçu le nom de corrélation, réciprocité ou dualité. Ces deux transformations sont dites linéaires. Elles comprennent la translation parallèle (171), le retournement {i'2), la rotation, Vhomothétie, la similitude, la transformation par polaires réciproques, la projection cylindrique ou \ affinité, la protection centrale ou la perspective.

Désignons par T', T*, T'", .. ., T'«' des transformations qui changent un système plan en un autre système plan. Si T' change un système t. en un système tc', et que T' ciiange tt' en it", on désigne par le produit W la transformation qui sert à passer de it à tt". En général, les opérations T'T' et T"T' sont différentes. Par exemple, si l'on retourne un plan successivement autour de deux droites a, b do ce plan, un point du plan vient occuper deux positions différentes suivant que l'on commence par l'un ou par l'autre retournement; cependant si les deux axes «, b sont rectangulaires, l'ordre des opérations est indifférent.

Plus généralement, le produit T'T' . . .T'"' désigne la transformation unique qui donne le même résultat final que l'opération T' changeant en it', l'opération T* changeant ir' en t^", etc.

Nous avons déjà dit que le produit de plusieurs collinéntions est c^n- \\. et DE G. — Tr. de Gcom. (II* Partie). 09

6io r-OTE m.

lement une colllnéation. On voit facilement que le produit de deux réciprocités est une collinéation . Enfin, le produit de plusieurs transformations qui sont des collinéations et des réciprocite's dans un ordre quelconque, est une collinéation ou une réciprocité suivant que le nombre des réciprocités est pair ou impair.

TRANSFORMATIONS QUADRATIQUES (*).

22. Lorsque deux systèmes plans sont rapportés l'un à l'autre de manière qu'à tout point de l'un corresponde un point de l'autre (un seul, sauf des exceptions en nombre limité), et à toute ponctuelle de l'un des systèmes une conique de l'autre, on dit qu'il existe entre ces systèmes une correspondance quadratique ponctuelle.

Pour établir une correspondance univoque entre les points de deux systèmes plans it, t^' {fig- 6), nous considérons dans le premier système deux radiées de centres différents A, B et, dans le second, deux radiées de centres différents A', B', et nous supposons que les faisceaux [A] et [A'] soient gradués projectivement, ainsi que les faisceaux [B] et [B']. Alors à chaque point M de tî on peut faire correspondre, dans 7t', le point M' situé à l'intersection des rayons des faisceaux [A'], [B'J qui correspondent aux rayons AM, BM des faisceaux [A], [B].

Si les droites AB, A'B' sont des rayons homologues tant des faisceaux [A], [A'] que des faisceaux [B], [B'], les points M, M' se correspondent dans deux systèmes collinéaires.

Supposons qu'il n'en soit pas ainsi, et menons les rayons A'C, B'C des faisceaux [A'], [B'] qui correspondent à la droite AB considérée com.me rayon des faisceaux [AJ, [B], ainsi que les rayons AC, BC des faisceaux [A], [B] qui sont les homologues du rayon A'B' des faisceaux [A'], [B']. Les points A, B, G, A', B', G' sont appelés les points principaux de la transformation, et les droites AB, BC, GA, A'B', B'C', C'A' {//g. 6) en sont les droites principales ; ABC et A'B'C sont les triangles principaux.

(' ) Magnus, Journal de Crelle, t. 8. — Steiner, Sjstematische Entwickelungen (Exercices). — Abel Transon, Nouv. Ann., iS64 et i865. — Hirst, Proceedings o/ the Royal Society, iS65 et iS66; Nouv. Ann., i866. — De Longchamps, Nouv. Ann., iSGG; Ann. de l'Ecole Normale supérieure, t. III; Journal de Math, spéc, 18S2. — Mathieu, Nouv. Ann., i865. — Saltel, Mém. de l'Acad. d". Belg., 1871. — Dewulf, Bull, des Se. math., t. V, iSyS. — Schoute, Ibid., 2» série, t. VI et VII. — Cii. Servais, Mathesis, 1R87 et 18SS. — Neuderg, Mathesis, 1888. — Ripert, ibid., 1899. — Salmon, Traité de Géom. anal. (LiOurbes planes), Cliap. VIII. — Reye, Géométrie der Lage, t. II,

SUU LES TRANSFonMATfO.NS LlJNÉAIlîKS ET QUADRATIQUES. 6ll

Un sommet d'un triangle principal a un nombre infini de points correspondants, situes sur le côté oppose de l'autre triangle principal. — En effet, A étant l'intersection d'un rayon quelconque du faisceau [A] ».vec le rayon BA de [B], son homologue est à l'intersection d'un rayon indéterminé de [A'] avec le rayon B'C de [B'], qui est l'homologue de BA; A a donc pour homologue un point quelconque de la droite B'C. De même C, intersection des rayons AC, BG de [A], [B] a pour homologue un point quelconque de la droite A'B', l'homologue de AC, BG dans les deux faisceaux [ A' j, [B']. Même raisonnement pour les points B, A', B', G'.

Fi>: 6.

Lorsque le point M parcourt un rayon m du faisceau [A], son homologue M' décrit le rayon homologue m' du faisceau [A'], de sorte qu'une droite m menée par A a pour homologue une droite m' menée par A'; toutefois, comme le point A de m a pour homologue un point quelconque de B'G', on peut dire que m se transforme en un système de deux droites (m', B'C'). Conclusion analogue pour les droites menées par B, A' ou B'. Supposons ensuite que M décrive une droite n menée par C. Les faisceaux engendrés par A'M', B'M' seront projectiis aux faisceaux perspectifs engendrés par AM, JiM; ils sont donc projectifs entre eux, et même perspectifs à cause du rayon uni A'B', qui correspond aux deux rayons AC, BC menés au point C de n. Il résulte de là que la droite n se transforme en une droite n' passant par C, ou mieux en un système de deux droites («', B'C).

Observons aussi que si n tourne autour de C, les droites n, n' se correspondent dans deux faisceaux projectifs [G], [C], de sorte (luo les trois couples (A, A'), (B, B'), (G, C) jouent le même rôle.

Faisons parcourir au point M une droite quelconque u, qui rencontre BA, CA, AB en D, E, F. Les droites A' M', B'M' se correspondront dans

Gl2 NOTU III.

deux faisceaux qui sont projectifs respectivement aux faisceaux perspectifs engendrés par AM et BM, et par suite projectifs entre eux; le point M' décrit donc une conique W (1131). Cette courbe passe par les points A', B', C qui sont les homologues des points D, E, F de m, et y touche les rayons des faisceaux [A'], [B'], [C], qui correspondent aux rayons AD, BE, CF des faisceaux [A], [B], [C].

Les droites de l'infini des systèmes tt, tt', que nous désignons par les lettres y, i', se transforment en deux coniques jj', 3 circonscrites aux triangles A'B'C, ABC. Suivant que la droite « rencontre la conique 3 en deux points réels distincts, confondus ou imaginaires, la transformée ïl' est une hyperbole, une parabole ou une ellipse.

Les diverses droites du plan it se transforment donc en des coniques passant par trois points fixes A', B', C; on dit que ces courbes constituent un réseau homaloïde. Les rayons d'un faisceau de centre M se transforment en un faisceau de coniques, passant par quatre points fixes A', B', C, M'. Une conique passant par les trois points fondamentaux A, B, C se transforme en une droite; si elle passe par deux points fondamentaux A, B, sa transformée est une conique passant par A', B'; une conique quelconque de ic a pour transformée une quarlique passant par A', B', C.

La transformation que nous venons d'étudier est une tronsfomiatlon quadratique (ou du second degré) ponctuelle. Elle est déterminée quand on connaît les triangles fondamentaux ABC, A'B'C et un couple de points correspondants (M, M'). Si l'on rapporte les plans tt, tz' respectivement aux triangles ABC, A'B'C, les coordonnées normales ou barycentriques de deux points homologues quelconques sont liées par des équations de la forme

xx' yy' zz' ^ __ X fi. v

X ~ [JL ~ V ' •/ '^ x' ' X' ' Z'^

X, |ji, V étant des constantes.

Si les systèmes tt, ir' se trouvent dans un même plan, ils ont, en général, quatre points doubles. En effet, si K est un tel point, les rayons AK, A'K se correspondent dans les radiées projectives [A], [A'], et aussi dans les radiées [B], [B']; on en conclut que K appartient à la fois aux deux coniques qui sont engendrées l'une par l'intersection des rayons homologues des radiées [A] et [A'], l'autre par les radiées [B] et [B']. Ces deux courbes se coupent en quatre points Ki, Kj, Kj, K4, qui sont les points doubles cherchés.