Nous allons examiner quelques cas particuliers

Supposons d'abord que les points principaux A', B', C coïncident

SUR I.tS TItANSFORMATlO.NS Ll.NÉAIIÏES ET yLADIUTlQLES. Gl3

respectivement avec A, B, C. Les radiées projeclives [A], [A'], qui ont inaintcnant deux rayons homologues ccliangeables AB, AC, forment une involution qui a deux rayons doubles «i, a^ : de môme les radiées [B], [B'] forment une involution dont nous désignons les rayons doubles par bj, h^\ enfin, soient cj, ci les rayons doubles de l'involution constituée parles radiées [C], [C]. Les points «i<^i, «1^2, «2^i> «2^2 (.Ao- 7) ^^'^'^ évidemment les points doubles Kj, K2. K3, K* des systèmes tt, t:'; comme ils se trouvent aussi sur les droites cj ou c», les points principaux A, B, C sont les points d'intersection des côtés opposés du quadranglc complet qui a pour sommets les points doubles Ki, Kj, K3, K4.

Fig. 7.

Les rayons AM et A!\I', BM et B.M', CM et CM', qui abou lissent à deux points homologues M, M' des systèmes w, ti', séparent iiarmoniquenient les droites a\ et «2> ^1 et b^, c^ et c%\ on en déduit que les points M et iM' sont conjugués par rapport aux coniques (dégénérées) a^a^^ bibi^ C1C2, et aussi par rapport à une conique quelconque passant par les points Ki, K2, K3, K^ (1174).

Le cas spécial que nous venons d'étudier est appelé une transformation quadratique involulive ou harmonique, pour rappeler que deux points correspondants M, M' sont échangeables. On peut définir ce cas comme il suit : Étant données dans un même plan deux coniques quelconques E, E', les polaires d'un point M par rapport à ces courbes se coupent en un point M' ; les points M, M' se correspondent dnns une transformation quadratique invulutive qui a pour points doubles les points d'intersection de E et E', pour points principaux les sommets du triangle aulopolaire commun.

6l/l NOTE III.

24. Considérons ensuite une transformation quadratique dans laquelle le triangle principal A'B'C coïncide avec ACB, et supposons en B et C deux radiées projectives [B], [C], qui représentent en môme temps les radiées [B], [B'] et les radiées [C], [C] du cas général, les rayons BA, liC ayant pour homologues les rayons CB, CA. L'homologue d'un point M de ir est à linlerseclion des rayons CM', BM', qui correspondent aux rayons BM, CM des radiées [B], [C]. On voit immédiatement que tout point de la conique engendrée par l'intersection des rayons homologues des radiées [B], [C] est un point double des systèmes t:, tt'; nous avons donc ici une conique des points doubles, que nous désignons par(K). Cette courbe touche en B et Clés droites AB,AC.

fi;;. 8.

Les droites CM', BM, qui sont des rayons homologues des faisceaux [CJ, [B], se rencontrent en un point R de (K), BM' et CM en un point S -de (R). En appliquant au quadrilatère BSCR des propriétés connues (1139), on trouve que les points M, M' sont alignés sur A et conjugués par rapport à (K); les faisceaux [A], [A'] sont donc identiques. La transformation précédente, étudiée d'abord par M. Hirst, est appelée inversion quadrique; elle est involutive. On peut la définir comme il suit : Étant donnés dans un même plan une conique (K) et un point A, deux points correspondants M, M' sont toujours en ligne droite avec A et conjugués par rapport à (K). {Fig. 8.)

Elle comprend comme cas particulier l'inversion ordinaire (.^84) : il suffit de prendre pour (K) une circonférence de centre A. Les points principaux sont A et les points cycliques.

SUR LES TRANSFOr.ilATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES. 6l5

Voici un aiilrc cas particulier de l'inversion quadrique, qui a été étudié par M. G. do Longchamps : Deux points correspondants M, M' sont alignés sur un point fixe A, et la distance M^I' est vue d'un point fixe B sous un angle droit. Les faisceaux [A], [A'] du cas général sont réunis en A et coïncident; les faisceaux [B], [B'], réunis en B, ont leurs rayons homologues perpendiculaires et coïncident avec les faisceaux [C], [C]; au point principal A correspond comme ligne principale la perpendiculaire élevée en B sur BA, et au point B la ligne principale BA; enfin la conique des points doubles est le système des droites isotropes issues de B, A la droite de l'infini correspond la circoniérence de diamètre AB; une perpendiculaire à AB se transforme en une hyperbole ou en une ellipse de sommets A, B suivant qu'elle passe ou non entre A et B.

2o. Il existe encore deux autres transformations du second degré, que l'on pourrait appeler respectivement transformation quadratique corrélative et trarisjormation quadratique réglée. Nous allons d'abord les déduire de la transformation quadratique ponctuelle.

Soient donc -, t:' deux systèmes plans entre lesquels il existe une correspondance quadratique ponctuelle, et soit kj un système plan corrélatif au système ir'; si nous considérons comme homologues deux éléments de 7c et TTi qui correspondent à un même élément de ir', nous aurons ctalili entre ~ et tîj une correspondance quadratique corrélative. Les sommets du triangle principal A' B'C se transforment en trois droites «i, bi. Cl de r.i, et les côtés de A'B'C ont pour homologues les sommets Aj, Bi, Cl du triangle formé par les lignes ai, éi, c\. Nous pouvons maintenant dire que tout point M de t: a pour homologue une droite my de -i , à l'exception ùq.s points principaux A, B, C, qui ont pour homologues une droite quelconque passant respectivement par Ai, Bi ou Ci. Inversement, toute droite /n, de tti a pour homologue un point M de ir, à l'exception des droiles ai, ^i, c\ qui ont pour homologue une quelconque des droites BC, CA, AB. Une droite (ponctuelle) do it se transforme en une conique lli de Tti , inscrite au triangle Ai B, Ci ; un faisceau do rayons de tti se transforme en une suite de points situés sur une conique passant par A', B', C

2G. Transformons maintenant par réciprocité doux systèmes plans «, -' entre lesquels il existe une correspondance quadratique ponciuollo; soient <i, a' les nouveaux systèmes ainsi obtenus. Si 1\I, M' sont deux points homologues de it, u', et m, m' les droites correspondantes des systèmes (x, a', nous considérerons les droites m, m! comme des éléments homologues des derniers systèmes. La correspondance ainsi

6i6 NOTE m.

établie sera une correspondance quadratique réglée. A toute droite m de 0- correspondra une seule droite m' de u'; il y a exception pour les côtés a, Z», c. et a\ b\ c' de deux triangle.i principaux, qui ont pour homologues une droite quelconque menée par le sommet opposé de l'autre de ces triangles. A un point de u considéré comme centre d'une radiée correspond une conique tangente aux lignes principales «i, &i, ci.

27. Pour établir directement une correspondance quadratique corrélative entre deux systèmes plans it, tti, nous considérons un point quelconque M de tt comme l'intersection de deux rayons p, q des deux radiées données [A], [B], et une droite quelconque /«i de 7:1 comme la jonction de deux points Pi, Qi de deux ponctuelles données [^i]. [^1]; de plus, nous supposons la radiée [A] projeclive à la ponctuelle [«i], et la radiée [B] projective à la ponctuelle [61]. Alors si/) et Pi, 7 et Qi sont des éléments homologues de ces formes, nous regarderons M etwi comme des éléments correspondants des systèmes 7:, t:^.

La correspondance ainsi établie sera une réciprocité si le rayon AB des deux faisceaux [A] et [BJ a pour homologue, dans les deux ponctuelles [ai], [bi], le point d'intersection Ci de leurs supports.

S'il n'en est pas ainsi, nous aurons une correspondance quadratique corrélative. Soient alors Bi le point de «1, et Ai le point de bi qui correspondent respectivement au rayon AB de [A] et au rayon BA de [B]. Soient encore AC le rayon dulaisceau [A] etBG celui du faisceau [B] qui correspondent au point Ci considéré comme appartenant à la ponctuelle [ai ] ou à la ponctuelle [bi]. Il est facile de voir que les points A, B, C ont pour droite homologue de Tî une droite quelconque menée respectivement par Ai, Bi, Ci, et qu'un point quelconque de l'une des droites AB, BC, CA a pour droite homologue de ui respectivement Ai Bi, BiCi, CiAi.

Nous laissons au lecteur le soin de continuer l'étude de cette correspondance, et de voir comment on peut établir directement une correspondance quadratique réglée.