HYPERBOLES ÉQUILATÈRES CIRCONSCRITES A UN TRIANGLE

28. Soient M, M' deux points inverses par rapport au triangle ABC (N., 9-11) Lorsque M décrit une ligne A, M' décrit une ligne A' qu'on appelle Yinverse triangulaire ou même simplement Yinverse de A.

L'inversion triangulaire est une transformation quadratique involulive, qui a pour points principaux les sommets du triangle fondamental, pour points doubles les centres des cercles inscrit et exinscrits.

SUR LES TRANSFORMATIONS LI.NÈAlUtS ET QUADRATIQUES. 6(7

L'iiwerse de la droite de l'infini est la circonférence ABC (N., 11).

Une droite qui coupe DC, CA, AB aux points D, E, F a pour inverse ne conique passant par A, B, C et touclianl en ces points les isogonalcs les droites AD, BE, CF.

Une droite qui rencontre la circonférence ABC en deux points éels T, T', se transforme en une hyperbole dont les asymptotes sont larallèlcs aux isogonales des droites AT, AT'. L'hyperbole devient quilatcre lorsque l'angle TAT'est droit, ou que la droite TT' passe par e centre 0 du cercle xVBG; elle passe alors par l'orthocentre H, inverse lu point 0 (1193). Les droites de Simson des points T, T' sont les isymplotes de la courbe; car elles sont perpendiculaires aux isogolales des droites AT, AT' et rencontrent BC, CA, AB en des couples le points isolomiques, de sorte qu'il existe une hyperbole équilatèrc îirconscrite au triangle ABC et admettant ces droites pour asympotcs (11-48).

Une tangente à la circonférence ABC a pour inverse une parabole lont les diamètres sont parallèles à l'isogonale de la droite joignant A lu point de contact. Enfin une droite extérieure au cercle 0 se transorme en une ellipse.

Des droites équidislanles du centre 0 se transforment en des conques semblables circonscrites au triangle ABC. Ce théorème se lémontre immédiatement pour les paraboles et pour les hyperboles [ui ont même angle des asymptotes; le principe de continuité permet le l'étendre aux ellipses semblables.

29. Parmi les hyperboles équilatères circonscrites au triangle ABC, )n a surtout étudié celle qui passe par le barycentre G (*); elle est 'inverse du diamètre OK qui passe par le point de Lemoine K. Cette iourbe, que nous désignerons par la lettre F, est souvent appelé /yjerbole di; Kiepert, du nom du géomètre cpii l'a rencontrée pour la jremière fois en traitant la question sWwiiniG {Nouvelles Annales, 18G9. 5.40:

Sur les côtés d'un triangle A, B, C comme bases, on construit trois riangles isoscèles semblables PaBC, l'^CA, PcAB, dirigés à la fois vers '■'intérieur ou vers l'extérieur du triangle ABC. Les droites APa, BP/,, jPc concourent en un même point; lorsque l'angle Va'èQ' varie, ce point

C) Llmoine , Cuiii^rès de Lyon {Association française des Sciences), 187 3. — BRocAno, J. de Mack. spéc, i884 et i885. — M« Cay, lUal/icsis, 1S87. — KiLiiL, Programme de Brombcrg, 188S. — Nelulkc et Gob, Congres de Pans, iHSg. — E. Cesaro, Nouv. Ann., 1888. — Neuiiebg, Mathesis, 1892.

6i8 NOIE m.

décrit une conique ayant pour équation en coordonnées normales

sin(B — C).72 -t- sin( G — k).zx -\- sin(A — B)..r/ = o.

Pour démontrer l'ideniilé de F avec ce lieu, appelons ç l'angle CBPa, considéré comme positif lorsqu'il est mesuré de BC vers BA, et désignons par A', B', G' les milieux de BC, GB, AB. Gomme les points ?<,, Pc déterminent deux ponctuelles semblables, les droites BP^, GPc se correspondent dans deux radiées projectives, et leur point de concours P décrit une conique. Lorsque cp prend les valeurs A, B, G, Cjgo", P coïncide avec un sommet du triangle fondamental, le barycentre G ou l'orthocentre II, cinq points qui appartiennent à V. Il en résulte que P parcourt Thyporbole de Kiepcrt, et que les droites APa, BP*, GPc concourent en un même point.

Les coordonnées normales de P sont coséc (A — tp), coscc(B — ç), coséc(C — cp).

30. Soient a, p, y les projections de K sur les côtés du triangle ABC, et soient q\ q" , q'" les points où ces côtés sont rencontres par les droites KP^, KP^, KP^. On a

Ka: kP:Ky = bg : CA : AP = A'Pa: B'Pô: C'P^;

d'où l'on déduit que les triangles q'q'q'"-, PaPôPc sont homothcliqucs par rapport à K et que les perpendiculaires élevées en 7', q'\ q'" sur BC, CA, AB concourent en un point q de la droite OK. Or l'inverse de q appartient à r et s'obtient en abaissant de A, B, C des perpendiculaires sur les côtés du triangle podaire de ç ; on a donc le théorème suivant : Les perpendiculaires abaissées de A, B, G sur les côtés correspondants du triangle PaP^Pc concourent en un point Q de l'hyperbole T.

Nous allons démontrer ce théorème par un autre procédé, qui établit une relation remarquable entre les points P et 0* Considérons deux triples de triangles isoscèles semblables (P^BC, PèCA, P^AB) et (OaBC, QôCA, OcAB), tels que les angles CBPa, CBQa soient complémentaires et situes du même côté de BC. Les lignes brisées PcC'B'P^, \C'A'Oa ont les composantes P<:G' et AC', C'B' et A'Qa, B'Pô et C'A' perpendiculaires et proportionnelles; par conséquent les résultantes Pc Pfc, AQa sont perpendiculaires et dans le mémo rapport PcC : AC'= tangcp. On en conclut que les droites AQ^, BQ^, CQc sont perpendiculaires aux côtés correspondants du triangle PaPiPe-

Les couples de points ?aQ<., ^bQb, PcQc marquent trois involutions dont les points doubles sont les centres des carres construits extérieurement et intérieurement sur BC, CA, AB. Il en résulte que les couples

SLR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES. 619

fie rayons (APa, AQ^), (BP^, BQi), (CPc, CQc) engendrent trois faisceaux involulils; donc la corde PQ de F passe par un point fixe. Ce

Fig. 9.

point est le centre 0 du cercle ABC; car, lorsqu'on prend 0 successivement pour Pa, Pfc, Pc. P passe respectivement sur les rayons OA, OB, OC, et 0 se confond avec A, B, G.

31. Citons quelques cas particuliers remarquables du dernier tlicorème :

a. Si Pa, P/i, Pc sont les sommets des carrés construits soit extérieurement, soit intérieurement sur BG, CA, AB, les droites AP^, BP^, CP^ sont égales et perpendiculaires aux côtés correspondants du triangle PaP/^Pt ; l(^iif point de concours est situé sur T et la tangente en ce point fjasse par 0.

b. Soient P^. P^, Pc les sommets des triangles équ'datéraux construits soit extérieurement, soit intérieurement sur BC, CA, AB. et soient Q^, Qh, Qc, les centres de ces triangles. Les droites APa, BPft, CPc sont perpendiculaires aux côtés correspondants du triangle QnQ/jQc et concourent respectivement au premier ou au second centre isogone Z, Z' de ABC; les droites AQa, BQô, CQc sont perpendiculaires aux côics correspondants du triangle P^P^P,. et concourent respectivement en deux points U, U'. Les points Z, Z', U, U' appartiennent à l'/ijocrbole V et les droites ZU, T M' passent par 0.

ôao NOIE ni.

La droite TL' est un diamètre de V. En effet, les faisceaux Z(ABC), Z'(ABC) étant inversement égaux, leurs rayons homologues se coupent sur une hyperbole équilatère ayant pour diamètre TL'.

c. Les projections Ai, Bi, Ci de K sur les médiatrices OA', OB', OC sont les sommets de trois triangles isoscèles dont les angles à la base sont égaux à l'angle V de Brocard; les droites AAi, BBi, CCi concourent donc en un point D de V. Les perpendiculaires abaissées de A, B, C sur les côtés opposés du triangle AiBiCi concourent également en un point N de T; la droite ND passe parU. Le point N appartenant aussi à la circonférence ABC est l'inverse du point à l'infini de la droite OK. (N., 37, 40, 43.)

Le centre de V est au milieu de la droite HX. Car H est le centre de similitude directe de la circonférence des neuf points du triangle ABC et de la circonférence circonscrite, et la première de ces lignes contient le centre de r (1193); par suite, le point diamétralement opposé à H sur r est situé sur la circonférence ABC et ne peut être que N.

d. Soient t' , t", t'" les projections sur BC, CA, AB d'une extrémité T de diamètre OK du cercle ABC; elles sont sur une asymptote de r. Les droites Kt', Kt", Kt'" rencontrent les médiatrices OA', OB', OC en trois points A3, B3, C3, qui sont en ligne droite et qui sont les sommets de trois triangles isoscèles semblables A3BC, B3CA, C3AB, ayant pour angle à la base un angle de Steiner (N., 39); la seconde extrémité T' du diamètre OK conduit à un triple analogue de points A4B4C4. Ces droites A3B3C3, A^B^Ci sont rectangulaires et passent par le barycentre G ; nous les avons appelées les axes de Steiner. On voit maintenant qu'elles sont parallèles aux asymptotes de V.

32. Les côtés du triangle PaP^Pc , qui joignent les éléments homologues de ponctuelles semblables, enveloppent trois paraboles Ya> Y*) te-, qui ont d'abord été étudiées par M. Artzt. {Programme de Recklingliausen, 1884.)

Trois positions particulières de ces droites étant B'C, C'A', A'B', les paraboles sont inscrites respectivement aux trianglesOB'C, OC A', OA'B'. Les directrices passent respectivement par les orthocentres A', B', C des mêmes triangles; elles passent aussi par le barycentre G où se croisent les axes de Steiner, qui sont deux tangentes rectangulaires communes aux trois paraboles. Par suite, les directrices de Ya, '{bi Yc ''Ont les médianes AA', BB', CC.

Les droites AP^, AP^ étant isogonales par rapport à l'angle BAC peuvent coïncider avec la bissectrice intérieure ou extérieure de cet angle; ces bissectrices sont donc tangentes à Ya- Lorsque AP^ ou APc coïncide avec AO, l'autre de ces droites devient la hauteur AH; on en conclut

SLR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES. 6i l

que AH rencontre les médiatrices OB', OC en leurs points de contact E, E' avec fa-

Le foyer de fa est sur la circonférence C'OB'A circonscrite au triangle de trois tangentes; il se trouve aussi sur la symétrique delà directrice par rapport à la tangente AI. C'est donc la projection de 0 sur la symcdiane AK. Ainsi, les foyers des paraboles Yaj Y*' ï^ sont les sommets du second triangle de Brocard (N., 3G).

33. L'axe d'homologie des triangles PaPôP^, A'B'C enveloppe une parabole inscrite au triangle A'B'C. Car la tangente variable Pi Pc maniue sur les tangentes B'C, O'B', OC de fa des ponctuelles semblables, etc.

Deux triangles PaP^Pc, QaQbQc fiui correspondent à des valeurs complémentaires de l'angle o (N'., 30) ont, avec ABC, un même axe d'Iiomologie. En effet, si pi, Yi désignent les points de rencontre de BC avec OB', OC, un calcul de Trigonométrie facile montre que les rapports anharmoniques (j^iOPiO^), (yiOPcQc) sont égaux; donc à cause de l'élément uni 0 les droites ^lYii PiPo QuQc concourent en un même point.

L'axe d'Iiomologie des triangles ABC, PaP^Pc enveloppe une parabole inscrite au triangle ABC et ayant pour directrice la droite HO. Car, soient U, U', U" les points de rencontre des côtés homologues; les côtés du triangle QaQôQc passent par les mêmes points. Si l'on donne le point U de BC, les deux tangentes menées de ce point à la parabole Ya déterminent les points Pô, Pc, Qb, Qc\ ceux-ci font connaître d'abord les points Pa, Qa, et ensuite les points U', U". 11 existe donc entre les points U, U' une correspondance (1,1), et comme l'axe d'homologie des triangles ABC, A'B'C est à l'infini, les points U, U' se correspondent dans deux ponctuelles semblables, et la droite UU' enveloppe une parabole. Deux positions particulières de cette droite étant les axes de Stciner, qui sont rectangulaires, la directrice passe par G,