TRANSFORMATION PAR POINTS RÉCIPROQUF.S. ELLIPSES DE STEINER

34. La transformation par points réciproques (N., 8) est quadratique et involutive; elle a pour points principaux les sommets du triangle fondamental ABC, pour points doubles le barycentre G et ses associés (N., 7).

Une droite quelconque qui coupe BC, CA, AB au.v poi/its D, E, F se transforme en une conique tangente en A, B, G aux droites qui joignent CCS points aux isotoniiques des points D, E, F.

Gi3 NOTK III,

En particulier, la droite do l'infini se transforme en une ellipse qui touche en A; B, C les côtés du triangle anlicomplémentaire. CelLo courbe, qui a pour centre le barycentre G, est appelée ellipse de Steiner.

On désigne quelquefois sous le nom de seconde ellipse de Steiner l'ellipse qui touche les côtés du triangle de référence en leurs milieux. Nous représenterons ces deux eUipses par les lettres C, C .

La propriété de la parabole démontrée au n° 1192 conduit immédiatement au théorème suivant : Si une parabole variable touche les côtés d'un triangle ABC aux points a, P, y» ^^s cordes Sy, ya, afj tournent autour des associés du barycentre, et les droites A a, B|j, C^ concourent sur la première ellipse de Steiner.

33. Le quatrième point de rencontre de la circonférence ABC avec l'ellipse C est appelé point de Steiner (»); c'est le point déjà désigné par la lettre R.

Les droites AU, BC ont des directions antiparallèies par rapport à un axe de C Or, si Aj, Bi, Ci sont les symétriques de A, B, C par rapport à G, les droites BiCi, Ci Ai, AiBi seront encore des cordes de C qui sont respectivement antiparallèies aux cordes AR, BR, CR par rapport à un axe de C On en conclut que les circonférences ABC, ABiCi, BCjAi, CAiBi se coupent en R.

L'ellipse <C, le cercle ABC et les cercles ABiCi, BCiAi, CA,Bi ont pour figures complémentaires l'ellipse C et les cercles des neuf points des triangles ABC, GBC, GGA, GAB; ces dernières lignes se coupent donc en un même point R', qui est le complémentaire de R. Or, le centre de l'hyperbole de Kiepert, qui est équilatcre et passe par A, B, G, G, doit se trouver sur les cercles des neuf points déterminés par trois de ces quatre points; le centre de T est donc le complémentaire de R.

Les axes de C sont parallèles aux bissectrices des angles des droites AR, BC ; ceux de r sont antiparallèles aux bissectrice3 des angles des droites AN, BC. L'angle RAN étant droit, les axes de C sont parallèles aux asymptotes de T\ ce sont donc les droites GX, GY, appelées cidessus axes de Steiner du triangle ABC.

Les cercles osculateurs aux points A, B, C de C passent par R ; car la tangente en A, par exemple, et la corde AR sont antiparallèies à un axe de C(1173).

36. Pour trouver les axes iX, aiJli de C, nous cherchons d'abord la

C) Nei-berg, Sur le point de Steiner {Coiiar,ès de Grenoble, i8S5, i?t J. de ]\lalh. spéc., i88G).

SLR LES TnANSFOUMAÏIO.VS Li:>f:.UUES ET QUADRATIQUES. 023

longueur du demi-diamèlrc GD conjugué à GA. Or, il existe entre DC et la parallèle GD le même rapport qu'entre le côté et le rayon d'un triangle équilatéral; car, si l'on projette C suivant une circonférence, le triangle ABC se projette suivant un triangle équilatéral, puisque la

Fi-. 10.

projection de G sera à la fois le baryccntre de la projection du triangle ABC et le centre du cercle circonscrit. Cherchons donc les centres I, I' des triangles équilatcraux BCZa, BCZ^ construits sur BC ; nous aurons GD = ZaI —Z'aX. Si nous menons par G une perpendiculaire à BC qui rencontre AZa, AZ^ en «, «', nous aurons aussi GD = Gm = G«'. Alors la solution de Chaslcs devient immcdialemcnt applicable : les axes de C sont parallèles aux bissectrices de l'angle uku! (ju de l'angle IGl'), et

.1, -+- Dî, = Aîi = I AZa, X - ifl = A«'= I AZ;.

Si l'on tient compte des calculs de N., 34 cl 39. on peut écrire X=\ v/ScotVi, ijî, = \ v/ScolV„ XDL = - S /3.

Soient ^1»'= -ciU, iJl)'= - \lî) les demi-axes de C ; un a

X'-+-i)l'= ^AZa= GI, X'— U'o'=- Ul.

et, par suite,

X'2— v)l)'2=GI.Gl'.

On oblienl donc les foyers F, F' de C en portant sur la bissectrice de l'angle IGl' i^fig- lo) les longueurs GF et GF' égales à la moyenne géométrique entre GI et Gl' (Laisam, Congrès de 'Jculouse, 1887).

FIGURES ORTHOGONALEMENT AFFINES (' ).

37. Soient •;:, tc' deux plans qui se coupent suivant la droite t et iont entre eux l'angle 0. On donne, dans le plan «, les points A', B', ... qui se projeltent orthogonalement en A', B', ... sur le plan tt'; pour abréger, on peut appeler le système AB. . . une contreprojectinn du système A'B'. ... Si l'on rabat t. sur -' autour de f, deux points homologues se placent sur une même perpendiculaire à f, et leurs distances à t sont dans le rapport constant i : cos6. Les deux systèmes AB. . ., A'B' . . . sont devenus orthogonalement affins ; t est \axe d'ojfimte, et cos 0 est le module d'affiinté (732).

Réciproquement, si d'un premier système de points AB... on déduit un second système A'B'. .. en multipliant par une constante \l (positive ou négative) les ordonnées abaissées des points A, B, ... sur un axe fixe ?, le second système est égal à une projection ou à une contreprojection du premier sur un plan mené par t et faisant avec le plan AB. .. un angle 8 dont le cosinus est égal à la valeur (absolue)

de [A ou de —> suivant que |ji2< i ou > i.

Si l'on transforme une figure plane par affinité orthogonale en prc-

Fig. I M'"

T '/nu- "

yrro

naitt pour ates d'affiiiilc deux droites rectangulaires /, t' et pour mo-

dule't deux romôres réciproques [i, —1 on obtient deux figures sein-

blables.

(') ^LLBERG, Sur les projections et contreprojections, etc. {Jicm. de l'Ac. de Bctsjitjue, 1890).

SLU LES TUANSFOIJUATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQCKS. 620

Soiciil /«, in les deux points qui correspondent à un même point M ( fig. Il), de sorte que

MF

m'Q MQ

On voit facilement que les triangles 0/«P, Om'Q sont semblables; donc les points 0, m, m' sont en ligne droite et Om ; Ow'= (j..

Si les modules étaient [jl et ^ les points m, /«"qui correspondent

à un point M seraient des points homologues de deux figures inversement semblables.

38. Problèmes. — Transformer par affinité orthogonale le triangle donné ABC en un triangle semblable à un triangle donné AiBiCi.

On peut, sans nuire à la généralité, faire passer l'axe d'aifinilé t par le sommet A; soit alors AB'C le triangle cherché. Les droites homologues BC, B'C se coupent en un point S de t, et les droites BB', CC sont perpendiculaires à t. Si donc on élève en A une perpendiculaire t' à t, les côtés BC, B'C sont divisés en parties proportionnelles par le point S et par la droite t' aux points S', n. Construisons le triangle EBC semblable à AB'C; les systèmes SBS'CE, SBnC'A étant semblables.

Fis 12.

l'angle ESB sera égal a ASB', el l'angle SES' égal à SAw ou à un angle droit. La circonférence de diamètre SS' passera donc par A et par E. D'où la soUilion suivante :

Consunisez le triangle EBC semblable à A|BiCi, et élevez au niilien 1) de la droite AE une perpendiculaire qui coupera BC en L ; du II, et DE C. — Tr. de Gcom. (Il» Partie). 4o

626 KOTE III.

centre L et avec le rayon LA, décrivez une circonférence, qui coupera BC en deux points S, S' : on peut prendre pour axe d'affinité chacune des droites AS, AS'. Construisez encore l'angle AS« = ESS' et l'angle AS'/j = ES'S, et soient B', C les points de rencontre de kn avec les perpendiculaires abaissées de B, C sur SA, et de même B", C ceux de kp avec les perpendiculaires abaissées de B, C sur S'A : les triangles k^' 0/ , AB"C'' résolvent le problème.

Remarques. — I. Les deux axes d'affinité sont rectangulaires. Les droites S«, S'/» sont parallèles; car les angles nSk, pS'k sont égaux aux angles complémentaires ESS', ES' S. Enfin les deux modules ont des valeurs réciproques nk : S'A, pk : SA.

IL Si l'on construit un second triangle eBC semblable à AiBiCi, les axes t, t' sont les bissectrices extérieure et intérieure de l'angle EAe.

III. Les arcs ES', AJ étant égaux, la droite AE est parallèle à S'J et, par suite, perpendiculaire à B'C et B"C", Si les modules étaient négatifs, B'C et B'C" seraient perpendiculaires à la droite ke.

IV. D étant à la fois le milieu de AE et D'D" (à cause de SL = LS'), la droite AE est égale à la somme des hauteurs AD', AD" des triangles AB'C, AB'C. La droite ke est égale à la différence de ces hauteurs, car Ae = S'J = D'D".