Ces remarques conduisent à un théorème fort élégant

Pour transformer par affinité orthogonale un triangle donné k^Ç, en un triangle semblable à un triangle donné AiBiGi, on construit, vers l'extérieur de ABC, les triangles EBC, AFC, ABG, et, vers l'intérieur, les triangles eBC, kfC, kBg semblables à AiBjCi : l'axe d'affinité est parallèle à la bissectrice extérieure ou intérieure de chacun des angles EAe, FB/, GCg'. Les côtés' des deux triangles cherchés sont perpendiculaires soit aux droites AE, BE, CG, .wf aux droites ke, B/, C^; les hauteurs de l'un de ces triangles sont égales aux moitiés des sommes AE -t- Ae, BF -H B/, CG -+- Cg, et celles de l'autre aux moitiés des différences AE — Ae, BF — B/, CG — C-.

Nous laissons au lecteur le soin de déduire de là la solution de Lionnet {Nouvelles Annales, p. 528; 1869) :

Soient E', F', G', e\ f, g' les centres des cercles circonscrits aux triangles EBC, .... Les côtés des triangles cherchés sont parallèles soit à ceux du triangle E'F'G', soit à ceux du triangle e' f g' \ ils ont pour longueurs, dans l'un des triangles cherchés, les sommes des côtés homologues des triangles E'F'G', e'f'g', et dans l'autre les différences des mêmes côtés.

40. Soient a, b, c, S, a\ b'. c\ S' les côlds et les aires de deuît

SUR LES TKANSl'OUMATIONS LriSÉAlUES ET QUADRATIQUES. 6i-J

triangles ABC, A'B'C dont le second est une projection orthogonale du premier. On trouve facilement

a'^= n"--i-(BB'—CC'y-, ■ 62 = b'*^{CC'—AX'y-, c2 = c'î-H(AV'— BB')2; d'où l'équation

Or, l'égalité

rendue rationnelle, devient

"Lx- — aS.rj = o;

en appliquant ce résultat à la relation (ij, on obtient

h étant la hauteur de ABC issue de A, on a

l6S2= 5lSa2//2 Srt^^ l6S'2= 2Srt'2 6'2— S«'*.

b'--^c'- — «2= 2^VcosA'= 4S'cotA',

2S a = //(cotB -f- cotC) = — ^(cotB -\- cotC). a

Au moyen de ces formules on ramène l'égalité (2) à

S2-i-S'2— 2SS'S(colBcolC'-i-cotCcotB') = 0;

d'où, en divisant par SS' et désignant par 6 l'angle des plans ABC, A'B'C,

(3) cosOh ^, = 2S(cotBcolC'-4-cotCcotB').

cosO ^ '

41, Supposons le triangle A'B'C équilatéral et appelons V l'angle de Brocard du triangle ABC; la formule (3) devient

cos6 ■+- — ;- = 2 cotV cot6o*.

cos 0

On en conclut que lex triangles équilatéraux situés dans un nicme plan se projettent et se contreprojettent sur un second plan suiiv//it des triangles de mcinc angle de Brocard.

Lei conséquences de cette proposition sont nombreuses. Par exemple,

NOIE Ht.

si l'on prend sur les côtés AB, BC, CA d'un triangle équilatcral trois longueurs égales Ay, Bx, C^, le triangle a^y est équilatéral, de même que celui dont les côtés sont dirigés suivant les droites Aa, Bp, Cy; une projection orthogonale de celte figure donne le théorème suivant :

Si les points a, p, y divisent les côtés BC, CA, AB d'an triangle quelconque dans un même rapport, le triangle a^-( et celai dont les eûtes sont dirigés suivant les droites Aa, B^, Cy ont le même angle de Brocard que le triangle primitif ABC.

Si l'on fait la projection de la figure formée par les triangles équilatéraux inscrits à une même circonférence, on trouve cette proposition :

^ une ellipse donnée, on peut inscrire une infinité de triangles ayant pour barycentre le centre de l'ellipse; tous ces triangles sont circonscrits à une même seconde ellipse, ont même surface et même somme des carrés des cotes.

FIGUP.es affines SUPERPOSEES.

42. LeiMME. — Étant donnés deux triangles ABC, A'B'C, il existe toujours trois masses et, P, y qui ont le même barycentre D, quand on les applique soit aux points A, B, C, soit aux points A', B', C.

Si ces masses existent, les droites AD, A'D' (fig. i3) rencontrent

Fi". i3.

respectivement CC, B'C'en des points E, E' tels que

BE B^ y