EC ~ E'C

ED E'D Dl ~ DA'

Les dernières proportions montrent que les lignes EE', A'A sont pnr3l-

SUR LES TUANSFORMATIONS LINÉAIUES ET QUADRATIQUES. 629

lèlcs et dans le rapport ai^S-i-y. Construisons les parallélogrammes A'A EEfl, EBB'Ei, EC C'Ec] les points E', E, E^ sont en ligne droite, et de la similitude des triangles E'B'E^; E'G'Ec (iOO, 2°), on conclul que les points E^, E', Ec sont en ligne droite. On a donc les égalités

EE^~^^-y' E'Ea~p'

il en résulte que E est le centre de gravité des masses a, p, y oppliquées aux points Ea, E^, Ec.

Ainsi, si l'on mène par un même point E (qui peut être quelconque) trois droites EE^, EE^,, EEc égales et parallèles aux droites AA', BB', ce, les masses cherchées sont proportionnelles aux aires des triangles EE^Ec, EE^Ea, EE^E^,

Ce résultat, qui comprend le lemme de la Noie III, § 08, admet de nombreuses conséquences. Par exemple, étant données trois ponctuelles semblables définies par les termes homologues ABC, A'B'C, les masses a, p, y> appliquées à trois points correspondants quelconques Pflî Pfi) Pc ont pour barycentre le point D. Les côlésdu triangle PaP^Pc enveloppent trois paraboles qui ont deux tangentes communes (réelles ou imaginaires) passant par le point D.

43. Deux systèmes plans sont des systèmes collinéaires dans lesquels les droites de l'infini se correspondent. A tout point à l'infini do l'un des systèmes correspond un point à l'infini dans l'autre; par suite, l'affinité transforme une ponctuelle en une ponctuelle semblable, et un faisceau de parallèles en un faisceau de parallèles.

Considérons deux figures affines situées dans un même plan et définies par deux triangles homologues ABC, A'B'C; nous allons en déterminer les éléments doubles. La droite de l'infini est évidemment une droite double. Elle est le support de deux ponctuelles projectives dont les points doubles X, Y sont des points doubles des deux figures affines. Projetons ces deux ponctuelles à partir d'un point 0 situé à distance finie; nous aurons deux faisceaux projectifs dont trois couples do rayons homologues sont parallèles aux droites (BC, B'C), (CA, C'A'), (AB, A'B'). Il est facile de construire les rayons doubles OX, OV des deux faisceaux (1103, HM).

Il existe un troisième point double D, qui a les mêmes coordonnées barycentriques dans les deux triangles ABC, A'B'C; on peut donc lo déduire du lemme (42).

Nous indiquons, sans démonstration, la construction suivante du point D : Si At est le point d'intersection des droites BC, B'C et A,

celui d'une parallèle à BC par A avec une parallèle à B'C par A', la droite Al Aj et les droites analogues BiBo, CiCj passent par D.