SYSTEME DE DEUX FIGURES SEMBLABLES SUPERPOSEES

M. Considérons deux figures directement semblables, situées dans un même plan et définies par deux segments homologues AB, A'B' (f/g. 14). Deux points correspondants quelconques M, M' forment avec ces segments des triangles directement semblables.

Fig. i/j.

Appelons C, D les points d'in'crscclion des droites (AB, A'B'), (AA', BB'). Les angles MAB, M' A'B' étant égaux, les droites homologues AM, A' M' se coupent sous un angle constant, égal à l'angle ACA'; par conséquent, elles se coupent sur la circonférence circonscrite au triangle ACA'. Semblablemcnt. les droites homologues BM, B'M' se coupent sur la circonférence BCB'. Les deux circonférences ACA', BCB', qui passent par le point C, se rencontrent, en outre, en un point S à distance finie et aux deux points cycliques w, co'. Les points S, 10, 10' sont les points doubles des deux systèmes semblables.

On appelle S le centre de similitude ou le pôle double (368). Comme la similitude des triangles SAB, SA'B' entraîne celle des triangles SAA', SBB', S est aussi le centre de similitude de deux figures directement semblables définies par les segments homologues AA', BB'; on en conclut que les circonférences circonscrites aux triangles ABD, A'B'D' passent également par S {voir exercice 93).

La génération la plus simple de deux systèmes directement semblables esl la suivante : Les rayons vecteurs SM, SM', qui aboutissent à deux

points homologues, font entre eux un angle constant et ont un rapport constant.

45. Soient M, Mi deux points correspondants des deux figures inversement semblables construites sur les segments homologues AB, A'B'(/o. i4).

Les triangles MAB, MjA'B' étant symétriquement semblables, les droites homologues AM, A'Mi tournent autour de A, A' avec des vitesses égales et de sens contraires; leur point d'intersection décrit donc une hyperbole passant par les points A, A', C et ayant des asymptotes parallèles aux bissectrices CT, CT' de l'angle ACA'. De même les droites homologues B.M, B'Mi se coupent sur une hyperbole passant par B, B', C et ayant des asymptotes parallèles à CT, CT'. Ces deux hyperboles ont, outre le point C, trois autres points communs, à savoir les points à l'infini sur CT, CT' et un point Si à distance finie; ces points sont les points doubles des deux figures semblables. Sj est appelé centre de similitude ou pôle double; les parallèles Si V, SiV à CT, CT' sont les droites doubles ou les axes. Les points cycliques w, w' s'échangent mutuellement dans la transformation.

La génération la plus simple de deux systèmes inversement semblables est la suivante : Les rayons vecteurs Si M, SiMi ont des directions symétriques par rapport à Si V et leur rapport est constant.

46. Voici une autre méthode pour déterminer les points S, Si. On doit avoir