SYSTÈME DE TROIS FIGURES DIRECTEMENT SEMBLABLES
47. Soient <pa, çi, cçc trois figures directement semblables, situées dans un même plan. Menons par un même point E trois droites EE^, EEû, EEc équipollentes à trois segments homologues, et traçons par Ea, Eô, Ec des perpendiculaires à ces droites; ces perpendiculaires forment un triangle Fa FôFc- Les triangles E^EôEc, FaE^Fc, qui ont des formes invariables, sont appelés respectivement premier et second triangle modulaire de Oa, <f6, «pc Nous désignerons par o, b, c les longueurs EEa, EE^, EEc ou mieux les coordonnées normales de E dans le triangle FaFiiFc; par a, P,y les coordonnées barycentriques de E dans le triangle EaE^Ec.
Si l'on applique le lemme (Note III, 42) à deux triples de points homologues ABC, A'B'C, on trouve le théorème suivant : Le barjcentre de trois points homologues quelconques de Oa, (fb, ^c, chargés des niasses a. , p, Y, est un point fixe D. Ce point a reçu le nom de point directeur.
48. Nous désignons par S^ le point double des figures «f^, cpcj et par Sa le point correspondant de ç». Les lettres Sô, S^, Se, Se ayant des significations analogues, le triangle S^S^Sc et le cercle circonscrit sont appelés respectivement triangle de similitude et cercle de similitude ; S^, S'^, S^ sont les points adjoints {//g- i5).
Les droites Sa, S^, S^j S'^, Se, Se concourent au point directeur D ei sont divisées en ce point dans le rapport p M- y I «• Car D est le barycentre des masses «, P, y appliquées soit en Sa, Sa, Sa, soit en S^, S'/„ Su, soit en Se, Se, Se, qui sont des triples de points homologues.
Les triangles S^ S,^ Se, Sa S'/, Se, Sa S^ Se sont directement semblables au premier triangle modulaire EaE^Ee- En effet, ils sont semblables parce que les points Sa, S^,, Se de (f>a ont pour homologues les points Sa, S/,, Se de çi et les points Sa, Sô, Se de Çc- Ensuite, ScSa et ScSa étant des segments correspondants de ^a et <p6, le triangle ScSa Sa est semblable à EEaE^, et l'angle SeSaS^ est égal à EEaE^; de même l'angle S6S^Sa= EEaEe, d'où l'on conclut l'égalité des angles S^S^ Se, E^EaEc. On démontrerait que les angles ScS'^Sa, SaSéS^ sont égaux à EcE/iEa, E^EcEa-
(') Gbolard, Sur les figures planes semblables {L'Institut, 1870). — G Tarry etNELBERG, Propriétés générales de trois fgures semblables {Matliesis, i8'^2). — IS'tiBERG, Sur les projections et contreprojections, etc. {Mémoires de l' Académie de Helg;que, 1889).
SLR LES TRANSFOHMATIONS LI.Nf:AIRES ET QUADRATIQUES. 633
Les triangles SaSôSc, S^S^Sc, SaS^Sé sont appelés les triangles annexes. On démontre facilement que les circonférences circonscrites passent par D (Note III, lo).
Fig. i5.
49. Le triangle formé par trois droites homologues quelconques est perspectif avec le triangle de similitude ; le lieu du centre de perspective est la circonjérence de similitude.
. Désignons par «a, "i, "c trois droites homologues de <pa, o^, ^c\ elles forment un triangle NaN^Nc (non marqué sur la figure), qui est directement semblable au second triangle modulaire Va^b^c- Si l'on représente par (X, z) la distance du point X à la droite x, on a
(Sa, /?6) (Sa, Ile)
(S/„nc) (Sa, "a)
(Sç. /^g)
(Se, n/,)
De ces égalités on conclut que les droites NaS^, NôS^, Ne S^ concourent en un point N dont les dislances à //a, "b, "c sont proporlionnclles à a,b,c. Les quadranglcs ^NaN^Nc, FFaF^F'c sont donc semblables; par suite les faisceaux N(SaS^Sc), E(FaF6Fc) sont égaux. Il résulte de là que le point N a pour lieu une circonférence passant par Sa, Sô, Se.
50. Il existe une infinité de triples de droites homologues cn/icourantes ; le lieu du point de concours est la circonférence de similitude,
et ces droites pivotent autour de trois points fixes de cette circonférence.
En effet, tous les triples de droites homologues parallèles à «a, "a, «c forment des triangles liomothétiqucs ayant pour point double commun le point N. Les parallèles NI^, NI^, Nie à na, «i, «^ sont l'un de ces triples et sont les seules droites homologues concourantes parallèles à na,rib,nc. L'angle SaNI^, = NN^Nc ^^EE^Ec; comme il est constant, le point Ia est fixe sur la circonférence Sa S^Sc. De même, les points la, le sont indépendants de la direction de «a-
Les points la, I*, le sont appelés les points invariables. Ce sont des points liomologues de (fa, <?/., Çc, puisqu'ils appartiennent à une infinité de triples de droites homologues. Le-triangle lalôlc est symétriquement semblable au triangle modulaire, car le faisceau de trois parallèles aux côtés de ce triangle est symétriquement égal aux faisceaux N(Ial6lc)> E(EaEz,Ec)-
51. Le triangle ayant pour sommets trois points homologues quelconques Pa, Pô, Pc est perspectif avec le triangle invariable ; le centre de perspective appartient à la cii conférence de similitude. En effet, les droites homologues JaPa, IôPa, IcPc forment nécessairement un faisceau égal au faisceau N(Ial6lc)-
En appliquant cette proposition aux triples de points homologues SâSaSa, S^S/^Sô, ScScS^, on voit que laltic sont situés sur les droites
^«■^a, ^b^bi ^c^c
52. Il existe une infinité de triples de points homologues Qa, Qb, Qe titués en ligne droite; ces points se meuvent sur les circonférences circonscrites aux annexes, et la droite QaQb tourne autour de D.
D'abord, puisque D est le baryccnlre des masses a, p, y, appliquées en Qa, Qb, Qc, la droite QaQb passe par D. Ensuite, les triangles ScQaQb, SbQaQc étant semblables aux triangles EEaEc, EEaEc, on voit que Qa se meut sur une circonférence passant par les points Se, Sa, D, etc.
Réciproquement, toute droite menée par D rencontre les circonférences annexes des trois points homologues de spa, 'fb, Oc-
53. Les parallèles menées par trois points homologues quelconques Pa, Pa, Pc ««^ droites SaSâ, S^S'ô, S^S^ concourent en un même point P.
En effet, appelons cp la transformée par affinité de ©a lorsqu'on prend pour axe d'affinité la droite S^Sc et les points Sa, Sa comme points homologues. Si P est le transformé de Pa, la droite PaP est parallèle à Sa Sa, et les droites SâPa, SaP se coupent sur S^Sc. Mais il est facile de voir que o se transforme en Ob quand SaSc est l'axe d'affi-
nilé, et Sa, S'/, un couple de points homologues; alors P se transforme en P^,, et PP* est parallèle à SbS'/„ etc.
54. On arrive à des propositions très curieuses lorsqu'on choisit d'une manière particulière les éléments qui déterminent trois figures semblables.
Par exemple, cpa, f*, '-pc peuvent être les figures semblables construites sur les côtés BC, CA, AB d'un triangle comme lignes homologues. Un premier triple de droites homologues concourantes est formé par les médiatrices A'O, B'O, C'O des côtés du triangle; un second triple, par les parallèles à BC, CA, AB, menées par le point de Lemoine. Les droites homologues de ces deux triples se coupent aux sommets du premier triangle de Brocard. Ces sonmiets sont donc les points invariables, et le cercle de similitude se confond avec le cercle de Brocard. Les points S^, S^, Se sont les sommets du second triangle de Brocard; le point directeur est le centre de gravité de ABC, etc.
On peut encore choisir pour les points Sa, S^, Se les pieds Ha, H^, Hc des hauteurs d'un triangle ABC; pour les points adjoints Sa, S^, Se, les points A, B, C, etc.
De même on peut prendre pour Sa, Sô, Se les sommets du triangle ABC, et pour Sa, S'i, Sé les symétriques de ces sommets par rapport aux côtés opposés. Dans ce cas, les figures Çaj ?*> <fc sont égales entre elles.
