EXERCICES
1. On projette le foyer F d'une conique sur les tangentes au moyen de droites faisant avec les tangentes un angle donné a, toujours dans le môme sens. Le lieu des projections est une circonférence qui a un double contact (réel ou imaginaire) avec la conique donnée. La mémo circonférence est aussi le lieu des projections du second foyer F' sur les tangentes au moyen de droites faisant avec les tangentes l'angle a dans l'autre sens.
Énoncer la réciproque de ce théorème (986) et la proposition analogue sur la parabole.
2. Deux points inverses par rapport à un triangle sont les foyers d'une conique inscrite. Les points tic contact des côtés sont situés sur les droites joignant l'un des points donnés aux symétriques do l'autre par rapport aux côtés correspondants.
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3. Les points de Brocard d'un triangle sont les foyers d'une ellipse qui touche les côtés aux pieds des symédianes {ellipse de Brocard).
A. Le barycentre G et le point de Lemoine K d'un triangle ABC sont les foyers d'une ellipse qui touche les côtés BC, CA, AB aux pieds des symédianes des triangles BCG, CAG, ABG.
5. Le premier centre isogone Z et le premier centre isodynamique d un triangle ABC sont les foyers d'une conique qui touche les côtes BC, CA, AB aux pieds des droites AZ, BZ, CZ.
6. L'or'hocentre H d'un triangle ABC et le centre 0 du cercle circonscrit sont les foyers d'une conique inscrite.
Béciproquement, à une conique on peut circonscrire une infinité de triangles qui sont en même temps inscrits au cercle directeur de centreF. Tous ces triangles ont pour orthocentre le second foyer F'.
7. La conique qui touche les côtés d'un triangle aux pieds des hauteurs a pour centre le point de Lemoine.
8. Si les points variables a, p, y partagent les côtés BC, CA, AB d'un triangle dans un même rapport, les droites py, y*) o^? enveloppent trois paraboles. Ces courbes sont tangentes à deux côtés du triangle aux extrémités du troisième, et elles ont pour foyers les sommets du second triangle de Brocard; les directrices sont les perpendiculaires abaissées des milieux des segments AH, BH, CH des hauteurs sur les médianes AA', BB', CC (Arztz, Progr. de Rechlinghausen, i8S4).
9. On porte sur les côtés BC. CA, AB d'un triangle ABC une même longueur variable Ba = Cp = Ay- Les droites a^, Py, ya roulent sur trois paraboles qui touchent respectivement BC en B, CA en C, AB en A et ont pour axes les bissectrices des angles C, A, B. Ces courbes ont deux tangentes communes (réelles ou imaginaires), passant par le point qui a pour coordonnées barycentriques c, <?, b. Le centre de gravité du triangle «Py parcourt une droite parallèle à l'axe antiorthique de ABC (M. d'Ocagne, Mathesis, 1887).
10. On porte sur les côtés BA, CA d'un triangle ABC une même longueur variable By = Cp = X vers le point A, et aussi By'= C3' = X dans les sens opposés. Les droites py» P'y' roulent sur une parabole inscrite au triangle ABC et ayant pour axe la bissectrice extérieure de l'angle BAC; les droites Py'î P'Y enveloppent une seconde parabole qui a pour axe la bissectrice intérieure de l'angle BAC (Mandart, Mathesis, p 3o; 1890).
SLR LES TRANSFOUMATIO.NS LINÉAIRES ET QLAOKATIQUES. 687
11. On projette un point quelconque du côté BC d'un triangle sur les deux autres côtés AB, AC. La droite qui joint ces projections enveloppe une parabole qui est tangente aux côtés AB, AC et aux hauteurs BB', CC. Le foj'er est le pied de la hauteur AA', et la directrice est la droite B'C (Neuberg, Mathesis. p. 60; iSgS; Duoz-FAnxy, Ibid., p. 226).
12. Sur les côtés d'un triangle ABC comme bases on construit des triangles isoscèles variables PaBC, P^CA, PcAB. Désignons par Ba, Ca, C^, Afi, Ac, Bc les points de rencontre des couples de droites (BPa, CA), (CPa, AB), (CPô, AB), (APô, BC), (AP^, BC), (BP^, AC). Les trois droites BaCa, CôA^,, AcBc enveloppent trois hyperboles, qui touclicni, deux côtés du triangle ABC et sont asymptotiqucs au troisième ; les centres sont situés sur l'axe orthique, et les polaires des points A, B, C respectivement par rapport aux trois courbes sont les perpendiculaires élevées aux milieux des côtés opposés. La droite de Lemoine est une quatrième tangente commune aux trois hyperboles (Neuberg, Mathesis, p. 11; 1900).
13. Si les triangles isoscèles PaBC, P^CA, PcAB de l'exercice 12 sont semblables, les points de concours Ra, R^;,, Rc des couples de droites (BP^, CPô), (CPa, APc), (AP^, BPa) décrivent trois hyperboles circonscrites au triangle ABC et ayant respectivement pour asymptotes les parallèles menées par le milieu d'un côté de ABC aux bissectrices de l'angle opposé. Les droites ARa, BR^, CRc concourent sur la droite OK.
14. Deux triangles orthogonaleraent affins sont orthologiques.
15 ('). AiBiCi étant le triangle qui a pour côtés les tangentes menées aux sommets d'un triangle ABC au cercle circonscrit, on construit un triangle quelconque a^y homolhétique à Ai Bj Ci par rapport au centre 0 du cercle ABC. Les droites Aa, B3, Cy concourent en un point, qui décrit l'hyperbole équilatère circonscrite à ABC et passant par 0 et par le point de Lemoine de ABC; cette courbe est l'inverse triangulaire de la droite d'Euler OH. L'axe d'homologie des triangles ABC, a^y enveloppe une parabole qui touche BC, CA, AB et la droite de Lemoine.
La même hyperbole est le lieu du centre d'orlhologie du triangle ABC et d'un triansïle variable PaP^Pc» ayant pour sommets les sommets de trois triangles isoscèles équivalents PaBC, P^CA, PcAB.
(') Tour les exercices 15 et 13, voir Jehadkk et NiauERC, Malhesis, p. 81; 1888. — FciiRMANN, Ibid., p. ii5. — Brocard, Mémoires de l'Acad. de Montl)<-llier, 1886. — Neuberg, iJ/af/icsii, p. 166; 1890. — M°" Prime, /ô/</., p. 33; 1893,
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16 (1). Soient D, E, F les points de contact des côtés du triangle ABC avec le cercle inscrit. On porte sur les rayons ID, JE, IF une même longueur variable la = 1^ =IY) ^^s droites Aa, B^, Cy concourent en un même point, qui décrit une hyperbole équilatère passant par A, B, C, I.
Cette courbe, qui est l'inverse triangulaire de la droite 01, est aussi le lieu du centre d'orthologie du triangle ABC et d'un triangle variable PaP^Pc, ayant pour sommets les sommets de trois triangles isoscèles de même hauteur P^BC, P^CA, PcAB.
17. Deux transversales réciproques par rapport à un triangle ABC sont les asymptotes d'une hyperbole circonscrite à ce triangle.
Si l'une de ces droites tourne autour d'un point fixe P, l'autre enveloppe une conique qui touche les côtés du triangle ABC aux isotomiques des points où ces côtés sont rencontrés par les droites AP, BP, CP. Des droites parallèles ont pour réciproques les tangentes à une même parabole.
La transformation par transversales réciproques est une transformation quadratique réglée involutive, ayant pour points principaux les sommets du triangle fondamental, pour lignes principales les côtés opposés : chacun de ces côtés est la transversale réciproque d'une droite quelconque menée par le sommet opposé.
18. Soient P un point quelconque du plan d'un triangle ABC, p sa polaire trilinéaire. Lorsque P parcourt une droite u qui rencontre BC, CA, AB en D, E, F, p enveloppe une conique qui touche les côtés BC, CA, AB aux conjugués harrconiques des points D, E, F par rapport aux extrémités de ces côtés. Lorsque p tourne autour d'un point fixe U, le point P décrit une conique passant par les points A, B, C; les tangentes en ces points sont les conjuguées harmoniques des droites AU, BU, CU par rapport aux angles BAC, CBA. ACB.
Examiner le cas particulier où la droite u est à l'infini, et celui où le point U est à l'infini.
La transformation par pôle et polaire trilinéaires est une transformation quadratique corrélative, dans laquelle tout point d'un côte du triangle de référence a pour droite correspondante ce côté lui-môme, et toute droite menée par un sommet de ce triangle a pour point correspondant ce sommet lui-môme.
(') Pour Ie3 exercices 16 et 24, voir Mandart et Neuberg, Mathesis, p. 8i; iSgS. — Lemoime, Congrès de Paris, p. 2o3 ; 1889. — Boutin, Joiirn. de HJal/i. spéc, p. io4 el 124; 1890. — FiiHBMANN, Mathesis, p. io5; 1S90.
SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES. GSg
19. A tout point M d'un plan on fait correspondro un autre point M, par la condition que la distance ]\liM' soit vue de deux points donnés A, B sous des angles donnés a, p. Démontrer que la transformation (M, M') est quadratique et se ramène à une inversion triangulaire si l'on remplace M' par son symétrique par rapport à la droite AB.
20. A un point M du plan d'un triangle ABC on fait correspondro le contre de gravité M' de son triangle podaire par rapport à ABC. Démontrer que les points M, M' se correspondent dans deux figures affines. — Si M" est le barycentre du triangle des symétriques de M par rapport à BC, C.\, AB {triangle réflexe de M), les points M, M" se correspondent dans deux figures symétriquement semblables. Le point M et le centre du cercle circonscrit au triangle réflexe sont inverses par rapport au triangle ABC.
21. L'hyperbole de Riepert est le lieu du pôle trilinéaire, par rapport au triangle ABC, d'une droite qui se déplace en restant perpendiculaire à la droite OH; c'est aussi la transformée par points réciproques de la droite GK. Les polaires trilinéaires des points de la droite GK enveloppent une parabole inscrite à ABC, ayant pour directrice HG et touchant les axes de Steiner.
22. On projette les points d'un plan ti' sur un second plan ir au moyen de droites s'appuyant sur deux droites données. La correspondance ainsi établie entre les champs ponctuels tt, tt' porte le nom de projection gauche; démontrer que c'est une transformation quadratique.
23. Soient A',B', C les milieux des côtés du triangle ABC; H», II/,, \\c les pieds des hauteurs; //«, ht,, hc les intersections des côtés homologues des triangles ABC, IlalUHc; les lettres 0, II, G. K, I, !„, I/,, \c ont la signification habituelle.
Une droite qui se meut en partageant les droites BC, 11^, Hc en parties proportionnelles, enveloppe une parabole Ça (parabole de Brocard), qui touche les hauteurs BH^,, CHc et les bissectrices AI, AI/,. La polaire do ha est l'isogonale de kha\ celle de H est AO.
Il existe deux autres paraboles analogues <f/,, cpc- Ces trois paraboles sont aussi les enveloppes des côtés d'un triangle l^aP^Pc dont les sommets partagent les hauteurs Alla, BH/,, CHc dans un même rapport. K est toujours le centre de gravité des points Pa, P/,, Pc pour les masses rt^, b-, c^. Les directrices sont les symédiancs AK, BK, CK. Les trois courbes ont deux tangentes communes rectangulaires, issues de K et parallèles aux droites de Simson des extrémités du diamètre OH do
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la circonférence ABC. Les foyers Fa, F^, Fc sont les points de rencontre des médianes AG, BG, CG avec le cercle de diamètre AG {cercle orthocentroïdal); ¥a est aussi situé sur le cercle d'Apollonius passant par A et sur les deux cercles adjoints qui touchent BC.
L'axe d'homologie des triangles ABC, PaP^Pc- enveloppe une parabole inscrite au triangle ABC et touchant la droite hahbhc\ la directrice est HK.
Les côtés du triangle PaP^Pc de l'exercice 15 enveloppent les anticomplèmentaires des paraboles (fa, ^b-, «?c-
24. Les côtés du triangle PaP^Pc de l'exercice 16 enveloppent trois paraboles [j.a, V-b, ^c inscrites respectivement aux triangles OB' G', OG'A', OA'B' (comparer exercice 10). Les foyers de ces courbes sont les intersections des bissectrices AI, BI, CI avec la circonférence de diamètre 01; les directrices sont les bissectrices intérieures AT, BT, CI' du triangle A'B'C, l' est le centre de gravité des points Pa, Pô, Pc pour les masses «, 6, c. Par ce point passent deux tangentes rectangulaires, t et /', communes aux paraboles jjta, fi^, ]^c'-, elles sont parallèles aux droites de Simson des extrémités VV, VV du diamètre 01 du cercle ABC, et interceptent sur les médiatrices O'A', O'B', O'C, à partir des points A', B', C, des segments égaux à {IVV ou à lIVV.
L'axe d'homologie des triangles A'B'C, PaP^Pc enveloppe une parabole qui touche les droites ?, t' et les côtés du triangle A'B'C; la directrice est 01'.
25. Une transversale m, qui pivote autour d'un point fixe M, rencontre les côtés du triangle ABC aux points Ai, Bi, Ci; les droites AAi, BBi, CCi forment un nouveau triangle A2B2C2. Démontrer que les points A2, B2, G2 engendrent trois coniques circonscrites au triangle ABC. Comment faut-il choisir le point M pour obtenir la circonférence ABC, l'ellipse de Stein^r ou l'hyperbole de Kiepert? Étudier le cas ou le point M est à l'infini.
26 (1). La transformation dans laquelle on considère comme homologues deux points M, M' dont les coordonnées normales du premier sont proportionnelles aux coordonnées barycentriques du second par rapport au même triangle de référence ABC, est une transformation linéaire {transformation instantanée)^ qui a pour points doubles les points A, B, C. Trouver les lignes de fuite et la transformée de la circonférence circonscrite ou inscrite.
(') Pour les exercices 26 et 27, voir G. de Longchamps, Congrès de Nancy, p. 69; 1886. — Nel'berc, Congrès néerlandais d'Amsterdam, p. 225; iSgS.
SUR LES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES 64l
27. Soit S un point quelconque du plan d'un triangle ABC; menons les droites AS. BS, CS qui rencontrent les côtés en Ai,Bi, Ci et appelons s l'axe dhomologie des triangles ABC, AjBiCi. Les systèmes homologiques dans lesquels ces triangles se correspondent ont pour module — 2; ils se projettent suivant deux systèmes semblables, si l'on prend pour centre de projection un point quelconque E extérieur au plan ABC et pour plan de projection un plan parallèle au plan ES.
Si I est le centre du cercle inscrit, on obtient la transformation par pointx supplémentaires . La circonférence ABC se transforme alors en une ellipse {ellipse de Longcliamps) de centre I, passant par les pieds des bissectrices et touchant le cercle inscrit aux extrémités du petit axe, qui est perpendiculaire à l'axe antiorthique; le grand axe est égal à /i U r.
Si l'on prend pour S le point de Lemoine, la circonférence ABC se transforme en l'ellipse de Brocard. Cette circonférence se transforme en une conique de foyer 0 et ayant pour directrice une ligne de fuite, lorsque 0 est pris pour centre d'homologie. Elle se transforme en la circonférence des neuf points lorsque S est l'orthocentrc de ABC.
28. Les sommets d'un triangle ABC et deux points jumeaux J, J' sont cinq points d'une hyperbole équilatère, qui a pour centre le milieu de ja distance JJ'.
29. Si l'on transforme un triangle ABC par polaires réciproques, en prenant pour centre du cercle directeur le point de Lemoine K, la circonférence circonscrite se change en l'ellipse qui touche en leurs milieux les côtés du triangle A'B'C transformé de ABC; K estunfoyer de celte ellipse et est appelé un fojer de Steiner du triangle A'B'C (Hada- MABD, Journ. de Math, spéc, p. 4i; i885). K est le point de Lemoine 'Je son triangle podaire par rapport au triangle A'B'C.
R. et DE C. — 7>. de Géom. (Il* Partie). (|I
