Soit AiAoAsAv le tétraèdre fondamental

Désignons par .vi, ^2, -^3, *4 les aires des faces; par «i, a^, a^ les arêtes A2A3, A3A1, A1A2; par «4, «s, «6 les arêtes A^At, A4A2, A; A3; par ajt le dièdre compris entre les deux faces qui ont l'arête commune ait.

Les coordonnées normales d'un point M sont des équimultiples quelconques de ses coordonnées tétraédriqnes ^i, ^0, x-^ x^ (9^^); celles-ci portent aussi le nom de coordonnées normales absolues.

Les coordonnées barjcentriques de M sont des nombres ^i, ^O) \z-, \'* proportionnels aux volumes des tétraèdres MA2A3At, MA3A4A1, MA4A1 A2, MA1A2A3, ces volumes étant affectés des mêmes signes que les coordonnées normales correspondantes. Appelons M>t le point de rencontre du plan s^ avec la droite Ayt-^I, et m^ le point d'intersection de l'arête ak avec le plan mené par M et par l'arête opposée à «yt. On démontre facilement les relations

Aimi ^3 M/72, ÇlH-^4 MM4 \;

MW4 Ç2-^Ç3 A4.M4 ^1 -+- Ç2

Il résulte de là que M est le centre des distances proportionnelles des fK>iDts Al, A2, A3, A4 pour les coefficients ^1, ^2. \z-, \\ il"^^)-

Les coordonnées d'un plan \ sont des nombres Xi, X2, X3, X4 proportionnels aux distances des sommets de tétraèdre A1A2A3A4 à ce plan, ces distances étant précédées du signe -f- ou — d'après une règle coiiDue(709). Soient /i, ^2, . . . les points où X coupe les arêtes rt5,aî, . ..; on a

(') Dans cette Note, qui est le complément naturel de la Note III de la première Partie, les renvois se rapportent au texte du Traité et à celui de la Nota elle-même; pour éviter toute ambifjuïté, nous ferons précéder ceux qui visent les Numéros de cette dernière de la lettre N.