POINTS ET PLANS HARMONIQUEMENT ASSOCIES

THÉORÈME

2. Si deux tétraèdres Ai A2 A3 A4, Ai Aj A3 A4 sont tels que les droites joignant les sommets homologues concourent en un même point S, les droites r/j, d^, ds, di, suivant lesquelles se coupent les faces homologues sont situées dans un même plan ff.

En effet, deux arêles homologues étant situées dans un même plan ont un point d'intersection. Soient Bj, B?., . . ., 8$ les points où les arêtes du premier tétraèdre sont rencontrées par les arêtes homologues du second. La droite c?^ contient les points Bj, B2, B3; la droite di passe par les points Bi, B5, Bg. Ces lignes ont un point commun Bi; donc elles sont situées dans un même plan a avec les droites f^, d^^ qui joignent les points B2 et Be, B3 et B5.

La démonstration de la réciproque ne présente pas de difficultés.

Les deux tétraèdres Ai A2 A3 A4, B1B2B3B4 sont dits homologiques , S est le centre d'homologie, a est \e plan d'homologie (938).

3. Étant donnés un tétraèdre Ai Aj A3 A4 et un point M, appelons [x;t le plan mené par M et l'arête a^. et v/,-, le plan conjugué harmonique de \ik par rapport au dièdre a^ du tétraèdre; ces plans coupent l'arête opposée en deux points que nous désignons par les lettres m, n affectées de l'indice propre à cette arête. La droite A;tM rencontre le plan Sk en un point M^.

Les trois plans [JL4, [xg, [jLe se coupent suivant la droite A4M, et les plans V,, V2, V3 rencontrent cette droite au conjugué harmonique N4 de M par rapport à AiMi. Si ^1, ^2, Ç3, ^4 sont les coordonnées normales ou barycenlriques de M, celles de N4 sont ^1, \^, ^3, — $4.

Les plans \>.i, \ii, se rencontrent suivant la droite B4B1, qui passe par M. Les plans ^4, s^, (^2, vo formant un faisceau harmonique, déterminent sur m^mk une division harmonique m^m^^lW^. Les plans V3, vs, ve passent également par N'j. Les coordonnées de ce point sont — ^1, ?2, bî — %k-

Nous désignons par Ni, N2, N3, N4 les conjugués harmoniques de M par rapport aux segments AiMi, A2l\l2) A3M3, A4M4; par Ni, N2, N'3 les conjugués harmoniques de M par rapport aux segments mim,,, m-im^, m^m^. Le Tableau suivant indique les coordonnées de ces points, les plans menés par ces points et les arêtes du tétraèdre, et les droites qui passent par ces points en s'appuyant sur deux arêles opposées du

GÉOMÉTKIE DU TÉTRAÈDRE. 645

tétraèdre :

M [jLi, fXo, fJi3, i^^i! 1^5, l'J^o; Dii/H:,, m^in^jmini^: çi, ^o, çsi b-

Ni... Vi, [X2, aj, [^4, V3, Vg; mi//;, /«5«2, W6«3; — ;i, ;2; ?3, Ci-

No... jjLi, vo, iJtj, Vi, [JL5, v^; mi//i, '«i^ô, ^à"3; ^i5 — b» ^3) Ci'

N3... ;x,, [.lo, "•'3, V4, V3, ae; rn:,/ii, W5//2, //«a/is; ;i, ;2, — Çs, V*-

Nt... [X,, [^2, H3, V;, V5, Ve; »il«4, »«2«5, '«3«6; Çlî Ç2, b) — ^4-

N'i... l-li,V2, V3, |J.i,V5, Vg; /72i/Wi, «2 «5, «3 «s; — Çl, îî, b;— ^4-

Ng. . . vj, (I2, V3, Vi, [Jt.s, vs; «1 /^, W2W5, "'s'Ws; ^1) — ?2> b) — ?*•

N'3. .. vi, V2, [JI3, vj, V5, îi-e; «1 «4, n^ nz, m^m^\ fj, Ç2, — Çs» — $4-

4. Les droites Ai/tzi, A2W0, A3W3 concourent en M4; par conséquent, les points «1, «2, «3, conjugués harmoniques de nij, m^, m^ par rapport à A2A3, A3AJ, A1A2, sont situés sur la polaire de ^U par rapport au triangle A1A2A3. Pareillement, les triples de points («1, «3, «e), («2, A?4, «g), (/?!, «4, «s) sont situés sur les polaires des points Mi, M2, M3 par rapport aux triangles A2A3A4, A3A4A1, A4A1A2. Ces quatre polaires ayant deux à deux un point commun sont situées dans un môme plan X, qu'on appelle plan polaire de M par rapport au tétraèdre Ai Ao A3 A4. Les six points «1, «2, ''3, ni,, «sj «e sont les sommets d'un quadrilatère complet, dont les diagonales se coupent aux points N'i, N2, N3. Les coordonnées du plan X sont inversement proportionnelles aux coordonnées barycentriques du point M.

Les deux tétraèdres A1A2A3A4, N'iNgNjM présentent celte particularité que deux arêtes opposées quelconques de l'un, par exemple, Aj A2 et A3 A4, sont partagées harmoniquement par les deux arêtes correspondantes N'iN'o, N'j M de l'autre tétraèdre. On en déduit que chacun de ces tétraèdres est autopnlaire par rapport à l'autre, c'està-dire que chaque sommet de l'un des tétraèdres est le pôle de la face opposée par rapport à l'autre tétraèdre. Ces tétraèdres sont honiologiquesi Ni est leur centre d'homologie, N2N3N4 est leur plan d'homologie.

Le tétraèdre N1N2N3N4 est également autopolaire par rapport à A1A2A3A4; ces deux polyèdres ont M pour centre d'homologie, et leur plan d'homologie est N', N2N3.

Pour d'autres propriétés intéressantes de la figure, nous renvoyons à un article de M. Stephanos Cyparinos {Bulletin des Science x mathématiques et astronomiques, 1879, p. 434)-

Les tétraèdres A1A2A3A4, M1M2M3M4 ont également pour centre d'homologie le point M, et pour plan d'homologie le plan N'iN^Nj.

SECTIONS ANTIPARALLELES D UN TETRAEDRE. RAYON DE LA SPHÈRE CIRCONSCRITE.

5. Désignons par 0 et R le centre et le rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre Ai A2 A3 A4, et par B1B2B3B4 le tétraèdre formé par les plans tangents menés en Ai, A,, A3, A4 à la sphère 0 {fîg. i ).

Si un plan parallèle au plan B1B2B3 coupe les arêtes A4 Ai, A4 A2, A4 A3 aux points Pi, P2, P3, nous dirons que le triangle P1P2P3 est une section antiparallèle du tétraèdre. Les côtés de ce triangle sont parallèles aux tangentes menées en A4aux circonférences A4A2A3,A4A3Ai,A4AiAi;

Fig. I.

par conséquent, les six points Aj, A2, A3, Pi, P2, P3 sont situés sur une même sphère, et l'on a

p étant la puissance de cette sphère par rapport à A4. On démontre faci-

GÉOMÉTRIE DU TÉTRAfeDRK. 647

lement les relations

P^Pa IVPi ^'fVP2 ^ p axd-^ a<ia-^ a^a^ a-^a^a^,

Donc les côtés d'une section antlprirallèle menée dans l'un quelconque des quatre trièdres d'un tétraèdre sont proportionnels aux produits des arêtes opposées du tétraèdre.

Remarquons aussi que la forme des sections antiparallèles d'un tétraèdre ne clian'ge pas quand on applique aux sommets du tétraèdre une transformation par rayons vecteurs réciproques.

Les circonférences circonscrites aux triangles A1A2A3, P1P2P3 appartiennent ù un même cône C4., ayant son sommet en A4 (878); les plans tangents menés par les arêtes A4 Ai, A4A2, A4 A3 de ce cône forment un trièdre circonscrit tel, que les plans menés par les arêtes de ce trièdre, et respectivement par A4A1, A4A2, A4A3, se coupent suivant la même droite. 11 résulte de là que les centres des symédianes des triangles A1A2A3, P1P2P3 sont sur une même droite passant par Ai.

Enfin, rappelons que le centre du cercle circonscrit au triangle PiPjPî est sur la droite A4B4 (1

6. La considération d'une section antiparallèle conduit aisément à l'expression du rayon de la sphère 0. En effet, si D, D' sont les points où le rayon A4O coupe le plan P1P2P3 et la sphère 0, on a

/> = AvD.AiD^aR.AiD.

Soient V, V les volumes des tétraèdres A4P1P2P3, AiAiAoAs; l'on a {Exercice 616)

d'où, en remplaçant A4P1, A4P2, A4p;j par leurs valeurs tirées de (i),

Désignons par T l'aire du triangle dont les côtés ont pour valeurs numériques «104, «2«sî <^zfi6'i à cause des égalités (2),

airoP,P2P3= .''] , T, «4 c/jag

par suite.

Égalons les deux valeurs de Vet remplaçons/» par 2R.A4D; il vient

6RV = T.

■ Cette démonstration est due à von Standt {Journal de Crelle, t. 57, p. 88).