POINTS INVERSES- THÉORÈME
7. Soit ^k l^ pion mené par un point donné M et par V arête a/; de te'traèdre AJA2A3A4, et soit ^^ le plan symétrique de jjl/c par rapport au plan bissecteur du dièdre a/, du tétraèdre : 1° les plans vj, V2, ... passent par un même point N ; 2° les coordonnées normales de N sont inversement proportionnelles à celles de M; 3" les projections (Ml, Ma, M3, M4), (Ni, N2, N3, Ni) des points M et N sur les faces du tétraèdre Ai A2 A3 A4, sont huit points d'une même sphère; 4° les deux pentagones complets MA1A2A3A4, NN1N2N3N4 sont tels, que la droite joignant deux sommets de l'un est perpendiculaire au plan passant par les sommets non homologues de l'autre polygone.
Appelons Q le centre de la sphère M1M2M3M4, N le symétrique de M par rapport à Q, et Ni, N2, N3, N4 les projections de N sur les faces du tétraèdre Ai A2 A3 A4. Comme Q se projette au centre du petit cercle suivant lequel le plan Sk coupe la sphère Q, My^N^t est un diamètre de ce cercle. Donc les points Ni, N2, . . . appartiennent à la sphère Q.
La droite MM/^ coupe cette sphère en un point N^ symétrique de N* par rapport au centre Q; par conséquent, NN^t = N/^.M. Or
MMi.MN'i = MMa.MN'a = MMs-MN's = MM4.MN'4 ;
donc les coordonnées normales de M sont inversement proportionnelles à celles de N. Il résulte de là que les plans M^/t, N«Ar sont symétriques par rapport au dièdre a^.
Les droites NNi, NN2, NN3, NN4 sont déjà perpendiculaires aux plans A2A3A4, Al A3 A4, A1A2A4, A1A2A3. Le plan NN1N2 est coupé, par la droite A3 A4 en un point L, et par le plan MA3A4 suivant la droite L'L, isogonale de L'N par rapport à l'angle NiLN2-, donc la droite N1N2 est perpendiculaire à la droite LL' et, par suite, au plan MA3A4 qui est mené par LL' perpendiculairement au plan NN1N2. Les droites N1N2, N1N3 étant perpendiculaires aux plans MA3A4, MA1A4, le plan NiN2N3 est perpendiculaire à la droite MA4.
SCOLIE
8. x" Les points M, N sont des points inverses par rapport au tétraèdre
A1A.2A3A4. Ce sont les foyers d'une surface de révolution du second ordre, touchant les faces du tétraèdre. En effet, construisons, dans un plan quelconque mené par MN, la conique ayant pour foyers les points M, N et pour axe principal le diamètre de la sphère Q qui est dirigé suivant MN ; cette courbe, en tournant autour delà droite MN, engendre une surface de révolution S. La sphère Q est le lieu des projections des foyers M, N sur les plans tangents à S. Réciproquement, le plan Sk, perpendiculaire à la droite MM^, aboutissant à un point M/f de la sphère, touche la surface S.
1° Lorsque le point M est à l'infini, on a le théorème suivant : Par les arêtes d'un tétraèdre Aj A2A3 A^, on mène des plans parallèles à une même droite d ; les symétriques de ces plans par rapj)ort aux plans bissecteurs des dièdres correspondants du tétraèdre passent par un même point N, dont les projections sur les faces du tétraèdre sont situées dans un même plan 8 perpendiculaire à d. Ce point est le foyer d'un parahnloïde de révolution touchant les quatre faces du tétraèdre et le plan 8; les diamètres de cette surface sont parallèles à d. Le plan 8 offre quelque analogie avec la droite de Simson d'un point de la circonférence circonscrite à un triangle. Mais nous faisons remarquer que le lieu de N n'est pas la sphère circonscrite au tétraèdre Al Ao A3 A4; ce lieu est une surface du troisième ordre.
TÉTRAÈDRES ET PENTAGONES ORTHOLOGIQUES.
THÉORÈME
9. Si deux te'traèdres Al Xz ^3 Al, C1C2C3C4 sont tels, que les perpendiculaires abaissées des sommets du premier sur les faces opposées du second concourent en un même point A, les perpendiculaires abaissées des sommets du second tétraèdre sur les faces opposées du premier concourent également en un même point C.
Voici trois figures où ce théorème s'aperçoit immédiatement :
i" Soit D le point inverse de A par rapport au tétraèdre AjAoAsAiv, et soient Di, D2, D3, D4 les projections de D sur les faces de ce tétraèdre.
2° Appelons 0, Oi, Oo, O3, O4 les centres des sphères circonscrites aux tétraèdres A1A2A3A4, AAjAsAi, AA1A3A4, AA1A2A4, AAiA2A3.
3° Transformons le tétraèdre Ai Ao A3 A4 par polaires réciproques en prenant une sphère directrice, de centre A; soit E1E2E3E4 le tétraèdre ainsi obtenu. Les tétraèdres D1D2D3D4, O1O2O3O4, E1E2E3E4 or.t leurs faces perpendiculaires aux droites AAi, AA2, AA3, AA4 et, par suite, sont homothétiques à C1C2C3C4; il résulte de leur construction que les perpendiculaires menées par leurs sommets sur les faces correspondantes du tétraèdre A1A2A3A4 concourent en un même point D, 0 ou A.
SCOLIE
10. 1° Les télraàdres AiAgAsA^, C1C2C3C4 sont dits orthologique^ ; les points A, C en sont les métapôles.
■ Les pentagones complets AA1A.2A3A4, CC1C3C3C4 jouissent delà propriété (\\iLun côté quelconque de l'un d'eux est perpendiculaire à la face opposée de l'autre; par exemple, le côté A3 A4 est perpendiculaire au plan CC1C2; les pentagones peuvent, également, être appelés orthologiques.
1° Les distances d'un sommet du premier pentagone aux autres sommets sont inversement proportionnelles aux distances du sommet homologue du second pentagone aux faces non adjacentes de ce polygone. Cette propriété se voit immédiatement si l'on prend pour CiCsCsCi le tétraèdre désigné ci-dessus par DiDoDaD^ ou EiE2E3E4.
3° Deux côtés correspondants AiAo, Ci C2 de deux pentagones ortliologiques .vont divisés dans le même rapport par les faces opposées A A3 A4, CC3C4.
En effet, appelons a le point de rencontre de Ai A2 avec le plan AA3 A4, c celui de CiCs avec le plan CCsG4, et soient a', c' les points situés à l'influi sur A1A2, C1C2. La droite Aa, intersection des plans AA1A2, AA3A4 qui sont perpendiculaires aux droites C3C4, CiCo, est perpendiculaire au plan QjzQ.!,b' . Par conséquent, le faisceau des plans CsCiCi, C3C4C2, C3C4C, C3C4C' a même rapport anharmonique que le faisceau des droites AA2, AAi, A«', Aa qui sont perpendiculaires à ces plans. Si l'on coupe ces faisceaux par les transversales C1C2, A1A2, on obtient
(Li G2CC) = (A2 Ai« «) ou — — = — — •
CC2 aA2
Il résulte de là que deux sommets correspondants de deux pentagones orthologiques ont, respectivement, mêmes coordonnées barycentriques dans les te'traèdres formés par les autres sommets.
POINT INVERSE DU CENTRE DE GRAVITÉ d'l'N TÉTRAÈDRE.
M. Soient 0:1, x^. x^, xi, les coordonnées normales absolues d'un point L par rapport au tétraèdre Ai A, A3 Ai. On a l'identité
{xl -t- xr, -r- xl-^xl)(sj -+- .y| -+- si -+- sf) — (.Vi.ri -+- .Vo.ro -hs^x^-i- s^x,,)^
= (SlX.2 — S.2Xiy^ -^(SiXs — .S-:iXip -^. . .-hiSsXi — S^.TsY'.
Le second membre de cette égalité se réduit à zéro, lorsque
•' i •■'^2 "^'3 Xl,
GÉOMÉTUIE DU TÉTRAÈDRE. 65 I
et la quantité si .vi -^-^2-^2-1- ^s-^'s -+- •>'4-^4 a l<i valeur constante 3 V ; par conséquent, le minimum de la somme <7 = xl -h j~l -i- x'I -i- .rj correspond au point L dont les coordonnée<! normales sont proportionnelles aux aires des faces du tétraèdre. Les coordonnées du centre de gravité G étant égales aux quarts des hauteurs ^i, //o, h^, h,,, L est l'in~ verse de G par rapport au te'traèdre; il est le centre de gravité du tétraèdre qui a pour sommets les projection.^ de L sur les faces de A,A,A3A4(N., iO, 3°).
Pour le minimum cherché,
