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Le point L rappelle, par quelques-unes de ses propriétés, le centre des symédianes d'u.n triangle; mais l'analogie entre les deux points est loin d'être complète.

QUADRUPLES BYPERBOLOÏDIQUES.

LEMME

12. Etant données quatre droites ^i, g», gs, gi,, non situées deux à deux dans un même plan, il existe, en général, deux droites s 'appuyant sur ces lignes; mais, si l'on peut assigner trois droites s'appujant sur f?i> gz) g%} glu '^ ^"^ existe une infinité.

Cette proposition résulte du n° 1212; en voici une démonstration directe. Soit A un point quelconque deg-i; les plans §^2 A, ^sA se coupent suivant une droite H s'appuyant sur g^j, g<,^ g3, et ils rencontrent ^'•4 en deux points B, C, qui sont généralement distincts. Lorsque A parcourt gi, les plans gzA, giA engendrent deux faisceaux homographiques; par conséquent, les points B, C marquent sur g^ deux divisions homographiques. Soient E, F les points doubles de ces divisions; les plans gzE, gsE se coupent suivant une droite rencontrant gi,g2,g3, gt,, et il en est de même des plans gzF, gsF.

Si, dans troi-s positions de A, les points B, C so confondent, ils coïncident constamment (llOi), et toute droite s'appuyant sur gi, g^, g^ rencontre également gi,.

13. Dans la dernière hypothèse, la droite H engendre un hyperboloïde ou un paraboloïdc, dont gi, g^, g^, g^ sont des génératrices du second mode. Un dit alors que^i, g^, gs, g^ constituent un quadruple /ijper- Loloïdique ou, plus simplement, que ces droites sont hyperholo'idiques.

De tels systèmes de quatre droites se présenlenl fréquemment dans

la Géométrie du tétraèdre ; il y remplacent les triples de droites concourantes de la Géométrie plane.

Soient Pi, P2, P3, P4 quatre points pris dans les plans des faces .vi, s^, S3, si, d'un tétraèdre Ai A2 A3 A4. Pour que les quatre lignes Ai Pi, A2P2, A3P3, ■A4P4 soient hyperboloïdiques, il suffit de trouver trois droites qui les rencontrent. Par exemple, par le point A4 de l'une de ces lignes, il doit passer une droite s'appuyant sur les trois autres, ce qui exige que les plans A4A1P1, A4A2P2, A4A3P3 se coupent suivant une même droite; ou que les droites A4P1, A4P2, A4P3 rencontrent A2A3, A3A1, A1A2 en des points Pu P2, Pz tels, que les droites Ai/3i, A^pt, A^pz concourent en un même point. De même, les plans A1A4P4, A1A2P2, A1A3P3 doivent se couper suivant la même droite, etc.

Désignons maintenant par pi, p^, ps^pi, quatre lignes hyperboloïdiques, situées dans les faces du tétraèdre A1A2A3A4. Le plan A1A2A3, mené par /)4, coupe /Ji, pz, p3 en trois points d'une même droite; autrement dit, les droites /?i,/j2,/?3 rencontrent A2A3, A3A], A1A2 en trois points qui sont en ligne droite. Une semblable condition doit être remplie par trois faces du tétraèdre.

Applications.

14. 1° Les droites qui joignent les sommets d'un tétraèdre aux centres des cercles inscrits aux faces opposées sont hyperboloïdiques. {Exercice 573, p. 5x3.)

2° Soit B1B2B3B4 le tétraèdre formé par les plans tangents menés par les sommets du tétraèdre Ai A2 A3 A4 à la sphère circonscrite, et soient Kl, K2, K3, K4 les centres des symédianes des faces de Ai A2 A3 A4.

Si le plan A1A2A3 coupe les droites B4B1, B4B2, B4B3 aux points Ci, C2, C3, les côtés du triangle C1C2C3 touchent en Ai, A2, A3 la circonférence circonscrite au triangle A1A2A3; donc les plans B4B1A1, B4B2A2, B4B3A3 se coupent suivant la droite joignant B4 au centre des symédianes de A1A2A3. Par conséquent, les droites AiBi, A2B2, A3B3, A4B4 sont des génératrices d'un même mode, et les droites BiKi, BoKo, B3K3, B4K4 sotJt des ge'nératrices de l'autre mode d'un liyperboloïde .

3° Le plan BiB2B3 rencontre les côtés du triangle A1A2A3 en trois points Di, D2, D3 qui sont les conjugués harmoniques, par rapport à ces côtés, des points où aboutissent les symédianes A4K1, A4K2, A4K3; on conclut de là que les plans A4A1K1, A4A2K2, A4A3K3 se coupent suivant une même droite. Par suite, les droites A]Ki, A2K2, A3K3, A4K4 sont hyperboloïdiques .

4° Appelons d^ d^, ds, di, les intersections des faces homologues des tétraèdres Ai A» A3 A4, Bi B2 B3 B4. Le plan B4 B2 B3 rencontre le plan Ai A2 A3 suivant une droite C2C3 qui touche en Ci le cercle A1A2A3. Le point

d'intersection Ei de C2C3, A0A3 appartient à la ligne rfi ; mais les trois points analogues, situés sur les côtés du triangle A1A2A3, sont sur la polaire de Kv par rapport à A1A.2A3. Donc les plans homologues des tétraèdres Ai AsAsAj. B1B2B3B4 se coupent suivant quatre lignes fijrper-

boloïdiques.

THÉORÈME

lo. Si les droites joignant les sommets liomologues de deux tétraèdres Al A» A3 A4, EiE2E3Ei sont hyperholoîdiques, les lignes d'intersection des faces correspondantes jouissent de la même propriété.

Soient Fi, F2, F3 les points de rencontre du plan A1A2A3 avec les droites E4E1, E4E2, E4E3. Par hypothèse, les plans E4E1A1, E4E2A2, E4E3A3 passent par une même droite; donc les droites EiAi, E2A2, E3A3 concourent en un même poi:it. Les côtés homologues des triangles E1E2E3, AiA2A3se coupent donc en trois points Gi, G2, G3 d'une même droite. Or, ces points appartiennent, respectivement, aux droites d'intersection des plans B4B2B3 et A4A2A3, B4B3B1 et A4A3A1, B4B1B2 et A4.41A2; donc la droite 616263 s'appuie sur les quatre lignes suivant lesquelles se coupent les faces homologues des deux tétraèdres AiAo A3 A4, B1B2B3B4.

La réciproque de ce théorème est également vraie.

THÉORÈME

16. Soient (Pi, Q{), (P2, Q2), (P3, Q3), (P*, Qi) quatre couples de points inverses par rapport aux triangles des faces du tétraèdre Al Ai A3 A4. Si les droites Ai? i, A2P2, A3P3, A4P4 sont lijperboloîdiques, les droites AiQi, A2Q2, A3Q3, A4O4 le sont également.

En effet, prenons sur A4A1, A4A2, A4A3 trois longueurs égales A4Ni= A4N2 = A4N3; les droites A4 Pi et A4O1, A4P2 et A4Q2, A4P3 et A4Q3 coupent, respectivement, les côtés du triangle N1N2X3 en des couples de points isotomiques. Par hypothèse, les plans A4 Ai Pi, A4A2P2) .\4A3P3 se coupent suivant une même droite, ou leurs traces sur le plan N1N2N3 concourent en un même point; on déduit de là que les traces des plans A4A1Q1, A4A2Q2, A4A3Q3 sont également concourantes, ou que ces plans se coupent suivant une môme droite.

SPHÈRES TANGENTES AUX QUATRE FACES d'lN TÉTRAÈDRE.

17. M. Hermary a fait connaître dans le Bulletin de la Société mathématique de France, t. Vil, p. i38, une solution remarquable du problème de construire une sphère touchant les quatre faces (indéfinies) d'un tétraèdre Ai A2 A3 A4. Celte solution va nous donner un complément

de la discussion établie au n" 963 et quelques propriétés des points de contact des faces du tétraèdre avec les différentes splières résolvant le problème.

Désignons par (xi, [Xj, p,3 les plans bissecteurs intérieurs des dièdres .(h, ^i), {^k} ^i)'. (•<'4, iz), et par vj, vj, V3 leurs plans bissecteurs extérieurs. Il peut y avoir huit sphères touchant les faces du tétraèdre; leurs centres, indiqués par les lettres I, J, J' sont les intersections des plans suivants : ,