LIVRK VI. — LES POLYÈDRES

galilé des deux polyèdres ou prismes droits tronqués (612) A'B'C'D'E ABCDE ou A'C et F'G'H'l' K'FGHIK ou F'H. Cette égalité résulte immédiatement de la remarque faite au n° 6li; car les deux bases A'B'C'D'E', F'Ci'H'l'K' sont égales, ainsi que les arêtes correspondantes A' A et F'F, B'B et G' G, etc. A' A, par exemple, est l'arête latérale ou la hauteur du prisme droit A' H', diminuée de AT', et F'F est l'arête latérale du prisme oblique AH, diminuée de la même quantité.

THÉORÈME

61 G. Le plan mené par deux arêtes latérales opposées d'un pandlélipipède le partage en deux prismes triangulaires équivalents.

Soit [fig. 347 le parailélipipède quelconque AG. Le plan AEGC, mené par les arêtes opposées AE et CG, partage ce parailélipipède en deux prismes triangulaires ABCEFG,ACDEG II, dont il s'agit de démontrer l'équivalence.

ISIenons la section droite du parailélipipède AG. Celle seclion OKLM est un parallélogramme ;o99); et les deux triangles égaux KLM, KMO, suivant lesquels la diagonale KM la divise, sont respectivement les sections droites des prismes ABCEFG, ACDEGII.

Or le prisme triangulaire ABCEFG est équivalent au prisme droit ayant pour base KLM et pour hauteur AE (615); de même, le prisme triangulaire ACDEGII est équivalent au prisme droit ayant pour base KMO et pour hauteur AE. Les deux prismes droits énoncés éiant égaux (6I3j, les deux prismes triangulaires ABCEFG, ACDEGII sont équivalents, cl chacun d'eux esl la moitié du parailélipipède AG.

(;éomktkie dans l esi'ace.

THEOREME.

617. 1° Si deux parallélipipèdes rectangles de même hase ont des hauteurs égales, ils sont égaux.

2° Si trois parallélipipèdes rectangles de même base sont tels, que la hauteur du premier soit égale à la somme des hauteurs des deux autres, le premier parallélipipède est égal à la somme des deux autres.

En efiel :

1° Soient [fig. 348) les deux parallélipipèdes reclangles AG el A'G', dont les bases ABCD, A'B'C'D' soni égales, ainsi que les hauteurs AE el A'E'; ces deux parallélipipèdes reclangles seront égaux comme prismes droits ayant même base elmême hauteur (613).

Fi{î. 348.

2° Soient [fig. 348) les trois parallélipipèdes rectangles AN, A'G', E"N', dont les bases ABCD, A'B'C'D', E"F"G"H" sont égales, et dont les hauteurs AL, A'E', E"L', satisfont à la condition

AL=rA'E'+E"L';

le parallélipipède rectangle AN est égal à la somme des deux autres. Car, si l'on prend sur AL une longueur AE égale à A'E' et qu'on mène par le point E une section EFGH parallèle à la base ABCD, EL sera égale à E"L', en venu de l'hypothèse énoncée. Par suite, des deux parallélipipèdes rectangles AG, EN, qui composent le parallélipipède rectangle AN, le premier sera égal au parallélipipède rectangle A'G', et le second au parallélipipède rectangle E"N' ( i°).