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teur que le prisme ABCDEF ; elle esi donc équivalente à la pyiamide EABC.

Les trois pyramides dont se compose le prisme ABCDEF étant équivalentes, chacune d'elles est le tiers de ce prisme. Or, le volume du prisme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur; le volume de la pyramide EABC a donc pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

2° Soit {Jig. 359) la pyramide polygonale SABCOE. On la décompose en pyramides triatigulaires en faisant passer des plans par l'arête S.\, et cliacune des arêtes SC, SD. Ces pyramides triangulaires ont pour bases les triangles ABC, ACD, A DE, qui composent la base de la pyramide donnée, et leur hauteur commune est celle de celte |nramide. La somme de leurs mesures ou la mesure de la pyramide SABCDE sera donc égale au tiers du produit de sa base AB(^DE par sa hauteur SO.

CoitOLLAiRES.

04i. En désignant par V, B, H les trois nombres qui mesurent respectivement le volume d'une pyramide, sa base et sa hauteur, on a la formule géniMale

Donc, toute i>yriiniidc est le tiers du prisme de même base et de même hauteur. Deux pyramides quelconques de bases équi^'alentes et de même hauteur sont équivalentes. Deux pyramides sont entre elles comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur. Deux pyramides de même base sont entre elles comme leurs hauteurs. Deux pyramides de même hauteur sont entre elles comme leurs bases.

GV'i. Quand un tétraèdre est régulier, son volume s'exprime en fonction de son arête a.

Un tétraèdre régulier est com|)ris sous quatre triangles équilaiéraux égaux. Sa base a donc pour expression (427)

Sa hauteur est le cùté de I'lui^Il' diuit d'un triangle rectangle

■^8 GÊOMÉTIUI' DANS l'eSPACE.

aytTiil pour second cùlé de l'angle droit le rayon du cercle circonscrit au triangle de base, c'est-à-dire -^v et pour hypoté-

nuse l'arête a du tétraèdre. Celte hauteur est, par suite, / a- ûKi

On a donc, pouV le volume du tétraèdre régulier en fonction de son arête,

~3' 4 ' V^3 ~" '2 ' Exemple.

Quel est le voUiine du tétraèdre régulier dont l'arête est I mètre}' On a

imc 2 I '"'■,4 1 40.1 36 or

\ =- 3L= i±-:^ =::0'"%II7 85l,

à y centimètre cube près.

SCOLIE

0i6. Pour évaluer le volume d'un polyèdre, il suffit de décomposer ce polyèdre en pyramides., de calculer les volumes de ces pyramides et de faire la somme des nombres obtenus. Plus généralement, il suffit de décomposer le pulyèdre proposé en parties telles, que l'expression de leur volume soit connue.

Pour opérer la décomposition en pyramides, on peut clioisir un point quelconque dans l'espace et le joindre à tous les sommets du polyèdre. Les bases des différentes pyramides formées sont les faces du polyèdre, et leurs hauteurs sont les perpendiculaires abaissées du point choisi sur ces faces. Le volume du polyèdre est la somme arithmétique ou algébrique des volumes des pyramides obtenues, suivant que leur sommet commun est lui-même intérieur ou extérieur au polyèdre.