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un plan parallèle à sa base. Prenons un point Sa la même hauteur que le poinl T au-dessus de la base GHIK, et construisons dans le plan de celte base un triangle ABC qui lui soit équivalent. La pyramide triangulaire SABC sera équivalente à la pyramide polygonale TGIIIK 6i4). Si l'on prolonge le plan LMNP jusqu'à la pyramide SABC, il déterminera dans cette pyramide une section DEF équivalente à la section LMNP (639 ; les deux pyramides SDEF, TLMNP seront donc aussi équivalentes. Par suite, le tronc polygonal GHIKLMNP, dilîérence des pyramides TGIIIK, ÏLMNP, sera équivalent au tronc triangulaire ABCDEF, différence des pyramides SABC, SDEF. Et comme le ironc de pyramide triangulaire est équivalent à la somme dé trois pyramides ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc et pour bases respectives les deux bases du tronc et la moyenne proportionnelle enire ces deux bases, il en sera de même du tronc de pyramide polygonale qui a même hauteur et des bases équivalentes.
COUOLLAIRES.
6i8. En désignant par V, B, b, h les nombres qui mesurent respectivement le volume d'un tronc de pyramide à bases parallèles, ses deux bases et sa hauteur, on a la lormule
V = ^B/< -f \-bh-\-~.h v'ïr6 0 o o
ou
(i)- V=|(B+ /»+ v/ÎJ^).
Souvent, au lieu do donner les deux bases B et A. on donne lune d'elles B cl le rapport -r- de deux cùiés homulugues de ces deux bases; on a alors
b a 11 en résulte
B=A'' d'où 6=Jb-
B. et DE C. — Tr. de Gvoni. l'il* Partie)
83 r,f:oMi'TRiR i)A>s l'ebpace.
Celte furmule, irès-commode dans les applicaliong, se trouve dans un Traité de Léonard de Pise, Sur les centres de gravité.
Exemple.
Les bases parallèles cran tronc de pyramide sont deux hexagones réguliers ayant respectivement i mètre et 2 mètres de côté, sa hauteur est égale à 3 mètres : calculer son volume.
On a dans ce cas
Ii:=lAl^ = 6"'qs/3
et, en appliquant la formule (2),
c'est-à-dire
à I centimètre cube près.
ScoLir.s.
6i9. On aurait pu employer, pour trouver le volume d'un tronc de pyramide polygonale, la méihode de décomposition déjà suivie dans d'autres cas (625, G43); mais celle marche exigeant ici la vérification d'une formule algébrique, il était préférable d'avoir recours à la méthode de transformation en ligures équivalentes.
60O. On peut donner au mot tronc une extension utile.
De même que les théorèmes relatifs aux sections d'unprismes'èiendent au cas où elles sont extérieures (606), les théorèmes relatifs aux sections rt'une pyramide (635, 636) s'étendent au cas où ces sections deviennent extérieures, qu'elles soient faites au delà du sommet ou au-dessous de la base de la pyramide proposée. Les plans sécants doivent seulement rester parallèles à la base de celte pyramide.
On peut distinguer les deux cas possibles en disant que les sections faites au-dessous du sommef donnent des troncs de première espère, et
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que les sections faites au-dessus du sommet donnent des troncs de seconde espèce.
l'our évaluer le volume d'un tronc do seconde espèce ABCOEF [fig. 362),
Fig. 36a.
il suffit d'effectuer la somme des pyramides SABC, SDEF. La hauteur// du tronc est d'ailleurs égale à la somme des hauteurs H et 11' des doux pyramides. On a ainsi, en conservant les notations du n" 6-48,
V = iB.l.,
De la relation (018, tioG)
