LIVRE VI. — LES POLYÈDRES
En effet, soient L, M,N|P, Q, la section équidislanle des bases (/i,'-. 3GG et S un point pris à volonté dons lintérieur de cette section. Le polyèdre licut être décomposé en pyramides ayant pour bases ses diverses laces et
Fig. 366.
pour sommet commun le point S. Les \clumes des deux pyramides qui
, . r. ^, . -, BH BU
reposent sur les bases B et B ont évidemment pour mesures "7;" ' -7- '
et il reste à évaluer les volumes des pyramides qui reposent sur les faces latérales. Soit donc LMM'L' une quelconque de ces faces, par exemple celle qui répond au côté L|M, du polygone L|]M,N,P|0| ; pour raisonner d'une manière générale, nous supposerons que cette face soit un trapèze (si c'était un triangle, l'un des côtés parallèles LM ou L'M' serait nul). Abaissons du point S la perpendiculaire SO sur le plan de la face LMM'L'; dans ce plan, menons par le point 0 la perpendiculaire TOI, à L|M,; la droite SI, sera perpendiculaire à L,M, ; enfin menons l'K, perpendiculaire au plan de la section L|M,N,P,(J, : l'K, sera la moitié de la dislance H des bases du polyèdre. Cela posé, la pyramide SLMM'L'a pour mesure
Or, le produit ri,. SO peut être remplacé par le produit SI, .l'K,, qui, comme lui, exprime le double de l'aire du triangle l'I.S ; on a donc, pour le volume de la pyramide indiquée,
Par suite, pour avoir la somme des volumes des pyramides qui reposent sur les faces latérales du polyèdre, il faut multiplier par- quatre fois la somme des triangles qui ont S pour sonmiet commun et pour bases les côtés delà section L|M,N,P|Q|, c'est-à-dire multiplier [lar -. quatre fuis l'aire B" de cette section.
9° GÉOMéTHIE DANS l'eSPAOE.
Application.
G57. Les amas de pierres, les fossés ou cuvettes établis de distance en dislance le long des routes, les tombereaux, etc., sont terminés haut el bas par deux rectangles parallèles LMNP, L'M'N'P', et latéralement par quatre trapèzes LMM'L'.MNN'M', NPP'N', PLL'P'. Exprimons le volume d'un pareil corps en fonction de la distance h des plans des deux rectangles et des dimensions a et h, ci et //, de ces rectangles [fig. 367).
La section L|M,P|Q| , équidistante des bases, est un rectangle dont les
dimensions, L, M,, L, P, , sont évidemment égales à - [n + a') et - [h + b').
Le volume du cor(is est donc, en vertu du théorème précédent, donné par la formule
- [ab -f- (i b' -f- (rt -I- (i)\b + i')],
que l'on peut écrire tlo la manière suivante ;
bh, ,. b'h. ,
Pour b' = o, le volume se réduit à
-{■la + a'],
et le corps a la forme qu'on donne dans les parcs d'artillerie aux piles de boulets sphériques rectangulaires.
§ V. — FIGURES SYMÉTRiaUES.
DÉFINITIONS
658. Deux points A cl A' sont symétriques par rapport à un centre 0, lorsque ce centre 0 est le milieu de la droite AA' (fg. 3(38).
Deux points A et A' sont symétriques par rapport à un axe xf [fig- 369) ou à un plan P [fig. 370], lorsque cet axe
LIVllK M,
LIS roi.YtîDuns
ou ce plan est perpendiculaire au milieu de la droite AA'. Deux figures sont symétriques par rapport à un centre, à un axe ou à un plan, lorsque leurs points sont deux à deux symétriques par rapport à ce centre, à cet axe ou à ce plan. Les points symétriques dos deux figures sont dits homoloffues.
l'ig. 3C8,
Fig. 3()Q.
fig. 370.
Deux Jîgures syniétiiques, par rapport à un axe, sont égales. Car une rotation de 180 degrés autour de l'axe, imprimée à l'une des deux figures, amène évidemment cette figure sur l'autre.
La symétrie par rapport à un axe n'olTre donc rien de particulier. Aussi, dans la suite de ce paragraphe, ne scra-l-il question que de la symétrie leiative à un point ou h un plan.
659. Deux figures F' et F", symétriques d'une même figure F par rapport à deux centres di/férents 0' et 0", sont égales
Fig. 371.
Soient A un jjoint quelconque de la figure F, A' son homologue dans la figure F' et A" son liumologue dans la figure F". 0' étant le milieu de A A' et ()"!(' milieu de A A", la droite A' A"
(') MnvvMS, Journal (le Mdlltéinatèqiies, t. XIV.
9^ GÉOMfiTltlE DA>S l'i-SPACE.
est parallèle à O'O" et égale à 20'0". La figure F" n'(sl donc que la figure F' transportée parallèlement à la direction O'O", d'une quantité égale à aO'O".
Corollaire.
660. La position du centre de symétrie n'influe ni sur la forme ni môme sur Vorièntation de la figure symétrique d'une figure donnée.
THÉORÈME
661. Si deux figures F et F" sont symétriques par rapport à un plan P, on peut toujours les placer de telle sorte quelles soient symétriques par rapport à un centre 0' pris à volonté dans ce plan; et réciproquement, si deux figures F et F' sont symétriques par rapport à un centre 0', on peut toujours les placer de telle sorte qu'elles soient symétriques par rapport à un plan quelconque P passant par ce centre [fig S^ i) (').
11 suffit de faire tourner la figure F" dans le premier cas, la figure F' dans le second, de i8o degrés autour de la perpendiculaire O'CB élevée en 0' au plan P.
En efïet, considérons une figure F, un plan P et un point quelconque 0' de ce plan; soient F' la figure symétrique de F par rapport au point 0', et F" la figure symétrique de F par rapport au plan P. Le théorème direct et sa réciproque seront démontrés à la fois, si l'on fait voir que les figures F' et F" sont symétriques par rapport à la perpendiculaire O'iî élevée en 0' au plan P (658^. Or, soient A, A', A" trois points homologues des figures F, F', F", et 0" le point où la droite AA" rencontre le plan P. 0' éiant le milieu de AA' et 0" le milieu de AA", la droite A' A" est parallèle à O'O" et, par suite, perpendiculaire sur O'B. D'ailleurs O'B, étant menée parallèlement à AA" par le m<lieu de AA', passe par le milieu Cde A' A". Donc, enfin, les points A' et A" sont symétriques par rapport à la droite O'B.
(') BhaVAIS, Juiinial de Mtithèmndtnipi. t. XIV.
t.ivile vi. — les polyèdues. 90
Corollaires
66*2. Deux tigures symcii uiues d'une même figure F, par rappuri à deux plans dilTéreiils P ei Q, ne sont auire chose, quant à la/b/'me, que la figure symétrique de F par rapporta un centre quelconque (659); elles sont donc superposables. Mais leur orientation dans l'espace n'est pas la même, à moins que les plans P et Q ne soient parallèles.
663. En résumé, si l'on fait abstraction de l'oiienialion pour n'avoir égard qu'à la forme, on voit qu'une fifjure V n'a qu'une seule Jif^ure sj métrique. Toutes les figures obtenues en prenant la figure symétrique de F, par rapport à tel centre ou à tel plan qu'on veut, sont superposables.
ScOLIE.
66*. Telle propriété de deux figures symétriques (6o8) est plus ou moins aisée à démontrer, suivant que l'on considère la symétrie relative à un plan ou à un centre. Le théorème précédent (661) permet de choisir le mode de symétrie qui facilite le plus les raisonnements. C'est généralement la symétrie relative à un centre qui rend les démonstrations plus simples, parce qu'en déplaçant le centre de symétrie on n'alièrc pas même l'orientation de la figure symétrique (6G0'.
THÉORÈME
605. La figure symétrique d'une ligne droite est une ligne droite.
Car, si l'on prend un point quelconque de la droite pour centre de symétrie, ce qui ne peut rien changer au résultat (660\ on retrouve évidemment la droite elle-même pour figure symétrique.
Corollaires.
660. La distance de deux points est égale à celle de leurs symétriques.
Car, si l'on prend pour centre de synn'tiie le milieu do la droite qui joint les deux points, on voit <iiui ces ileu\ points; ne font que s'échanger.
C)| GÉOJIÉIRIF, DANS l'uSPACK.
GG7. L'angle de deux droites est t^gal à (angle de leurs sfmétriques.
Car, en prenant pour centre de symétrie le sommet de cet angle, on voit que les droites symétriques formenl l'angle qui lui est opposé par le sommet.
SCOLIE
668. 11 importe de se figurer nettement la situation de deux droites symétriques par rapport à un centre ou par rapport à un plan.
Soit AB [fig. 372) une droite dont on veut la droite symétrique par rapport à un centre donné 0'. Prenons d'abord la
Fi
iS'
droite symétrique de AB par rapport à son milieu 0 : le point A aura son symétrique en B, et le point B son symétrique en A; de sorte que la droite symétrique de AB, par rapport à son milieu 0 pris pour centre, sera BA. Pour passer ensuite du centre 0 au centre ()', il sulfiia (659) de faire décrire aux points A et B des droites BA' et AB' parallèles à 00' et doubles de 00'. On trouve ainsi, pour symétrique de AB, la droite A'B' parallèle à AB, de sens contraire, et située à la même distance du centre 0' de symétrie.
Soit OA {/ig. 3':3) une droite dont on veut la droite symétrique par rapport à un plan P qu'elle rencontre en 0. En prenant d'abord la droite symétrique de OA par rapport au point 0, on trouve son prolongement OA', et il sunil(G61) de faire tourner OA' de 180 degrés autour de la perpendiculaire OB au plan P, pour avoir la droite OA" demandée. On voit que les deux droites OA et OA", symétriques par rapport au plan P, sont également inclinées sur ce plan, qu'elles rencontrent d'ailleurs au même point 0.
UVllE VI.
i.i;s l'OLviîUKES. 96
THEOREME.
